【學(xué)習(xí)提要】
　　本章為概率論的基礎(chǔ)，在歷年的考試中基本每年都會(huì)有所考查，題型以填空題與選擇題居多，計(jì)算題、證明題等高分值的題較少�？荚噧�(nèi)容包括隨機(jī)事件、樣本空間、事件的關(guān)系與運(yùn)算，它們是計(jì)算各種事件概率的基本前提；完備事件組、概率的概念、概率的基本性質(zhì)、古典型概率、幾何型概率、條件概率、概率的基本公式，是計(jì)算概率的基本方法；事件的獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是重要的概念。
　　【考試要求】
　　1.了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算。
　　2.理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等。
　　3.理解事件獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法。
　　一、隨機(jī)事件
　　（一）隨機(jī)事件的相關(guān)概念
　　1.隨機(jī)試驗(yàn)的概念
　　具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)
　�。�1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；
　�。�2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；
　　（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。
　　注：本書(shū)中以后提到的試驗(yàn)都是隨機(jī)試驗(yàn)，是通過(guò)研究隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的。
　　2.樣本空間與樣本點(diǎn)
　　(1)樣本空間（基本事件空間）的概念
　　對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合是已知的。將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為E的樣本空間（基本事件空間），記為Ω。
　　(2)樣本點(diǎn)（基本事件）的概念
　　樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱(chēng)為樣本點(diǎn)或者基本事件。
　　例如：試驗(yàn)1——拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。它的樣本空間Ω：{H,T};
　　試驗(yàn)2——記錄某地一晝夜的高溫度和低溫度。它的樣本空間Ω：{(x,y)T0≤x≤y≤T1}，這里x表示低溫度(℃),y表示高溫度(℃)。并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0,也不會(huì)大于T1。
　　3.隨機(jī)事件
　　樣本空間的子集，即試驗(yàn)滿足某些條件的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，常用大寫(xiě)英文字母A、B、C等表示，有時(shí)用｛……｝表示事件，大括號(hào)中用文字或式子描述事件的內(nèi)容。
　　在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)事件中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)事件發(fā)生。由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱(chēng)為基本事件；由多于一個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為復(fù)合事件。
　　顯然，樣本空間Ω和空集�炼际铅傅淖蛹�，從而也是事件，它們分別稱(chēng)為必然事件——每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件;不可能事件——每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。
　　（二）事件的關(guān)系及運(yùn)算
　　1.包含
　　若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即A為B的子集，則稱(chēng)事件B包含事件A，也稱(chēng)A為B的子事件，記作A�糂，圖1-1（稱(chēng)為文氏圖）表示了事件的包含關(guān)系，顯然，對(duì)任何事件A有�联糀�糂�鸡�。
　　2.相等
　　若兩個(gè)事件A、B滿足A�糂且B�糀，則稱(chēng)A與B相等，記作A=B。此時(shí)A與B包含的樣本點(diǎn)完全相同，即表示同一個(gè)事件。
　　3.和（并）
　　事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱(chēng)為A與B的和（并），記作A∪B（或A+B），即
　　A∪B=｛ωω∈A或ω∈B｝，
　　圖1-2（陰影部分）表示了A與B的和事件。
　　類(lèi)似有n個(gè)事件A1,A2,…,An的和∪ni=1Ai,稱(chēng)∪∞i=1Ai為可列個(gè)事件A1,A2,…,An,…的和事件。
　　4.積（交）
　　事件A與B同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為A與B的積（交），記作A∩B(或AB),即
　　A∩B={ωω∈A且ω∈B}，
　　圖1-3（陰影部分）表示了A與B的積事件。
　　類(lèi)似有n個(gè)事件A1,A2,…，An的積∩ni=1Ai,稱(chēng)∩∞i=1Ai為可列個(gè)事件A1,A2,…,An,…的積事件。
　　5.差
　　事件A發(fā)生但B不發(fā)生的事件稱(chēng)為A與B的差，記作A-B，即
　　A-B={ωω∈A但ω�麭}，
　　圖1-4（陰影部分）表示了A與B的差事件。
　　6.互不相容（互斥）
　　若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=��,則稱(chēng)A與B互不相容（或互斥），記作A∩B=�粱駻B=��，圖1-5表示了A,B的互斥關(guān)系。
　　7.對(duì)立（互逆）
　　若事件A,B不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，即A,B滿足AB=�燎褹∪B=Ω,則稱(chēng)A與B互為對(duì)立事件（或互逆事件），記作A=B或B=A，即A的對(duì)立事件A就是A不發(fā)生的事件:
　　A={ωω�麬}=Ω-A，
　　圖1-6（陰影部分）表示了A的對(duì)立事件為B。
　　8.完備事件組
　　若有限個(gè)或可列個(gè)事件A1,A2,…,An,…滿足AiAj=��(i≠j),且∪∞i=1Ai=Ω,則稱(chēng)A1,A2,…,An,…構(gòu)成一個(gè)完全事件組或完備事件組。
　�。ㄈ�）事件運(yùn)算的性質(zhì)
　　1.交換律
　　A∪B=B∪A,AB=BA。
　　2.結(jié)合律
　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C,
　　(AB)C=A(BC)=ABC。
　　3.分配律
　　A(B∪C)=AB∪AC,
　　A∪(BC)=(A∪B)(A∪C),
　　A(B-C)=AB-AC,
　　A(∪ni=1Ai)=∪ni=1AAi。
　　4.對(duì)偶律（DeMorgan—德·摩根定律）
　　A∪B=AB,AB=A∪B，
　　∪iAi=∩iAi,∩iAi=∪iAi(i≥1)。
　　5.吸收律
　　A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
　　6.雙重否定律A=A。
　　7.差積轉(zhuǎn)換律A-B=AB。
　　二、隨機(jī)事件的概率
　�。ㄒ唬└怕实南嚓P(guān)概念
　　1.頻率的概念
　　在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nAn稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)。
　　頻率具有下述基本性質(zhì)：
　�。�1）0≤fn(A)≤1;
　　（2）fn(Ω)=1;
　�。�3）若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件，則
　　fn(A1∪A2∪…∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Ak)。
　　由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)之比，其大小表示A發(fā)生的頻繁程度。頻率大，事件A的發(fā)生就頻繁，這意味著事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就大。反之亦然。
　　2.概率的概念
　　設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間。對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù),記為P(A)，稱(chēng)為事件A的概率。如果集合函數(shù)P(·)滿足下列條件：
　　(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A,有P(A)≥0;
　　(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件Ω，有P(Ω)=1;
　　(3)可列可知性：設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于AiAj=��,i≠j,i,j=1,2,…,有
　　P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…。
　　（二）概率的性質(zhì)
　　1.有界性
　　對(duì)于不可能事件��,P(��)=0;對(duì)于必然事件Ω,P(Ω)=1。
　　2.有限可加性
　　若A1,A2,…,An兩兩互斥，則有P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)。
　　3.減法公式
　　P(A-B)=P(A)-P(AB)。
　　特別當(dāng)B�糀時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B),從而P(B)≤P(A)。
　　4.加法公式
　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
　　5.廣義加法公式
　　P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)-∑1≤i　　特別有
　　P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
　　6.求逆公式
　　P(A)=1-P(A)。
　　（三）概率的類(lèi)型
　　1.古典型概率
　�。�1）古典型概率隨機(jī)試驗(yàn)特征：基本事件等可能；樣本空間由有限個(gè)元素或基本事件組成。
　�。�2）古典型概率計(jì)算公式：
　　若事件A包含k個(gè)基本事件,即A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}，這里i1,i2,…，ik是1,2,…,n中某k個(gè)不同的數(shù)。則有
　　P(A)=∑kj=1P({eij})=kn=A包含的基本事件數(shù)Ω中基本事件的總數(shù)。
　　2.幾何型概率
　�。�1）幾何型概率隨機(jī)試驗(yàn)特征：基本事件等可能；樣本空間含有的基本事件有無(wú)窮多個(gè)。
　�。�2）幾何概率計(jì)算公式：
　　若試驗(yàn)E的樣本空間Ω為幾何空間中的一個(gè)有界區(qū)域（這個(gè)區(qū)域可以是一維、二維、三維，基至n維的），且Ω中每個(gè)樣本點(diǎn)，即基本事件出現(xiàn)的可能性相同，則稱(chēng)試驗(yàn)E為幾何概型，此時(shí)，事件A的概率定義為
　　P(A)=A的度量（長(zhǎng)度、面積、體積）Ω的度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。
　　3.條件概率
　�。�1）條件概率的概念
　　設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱(chēng)
　　P(BA)=P(AB)P(A)
　　為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。
　　條件概率P（·A）符合概率定義中的三個(gè)條件，即
　�、俜秦�(fù)性：對(duì)于每一事件B，有P(BA)≥0;
　�、谝�(guī)范性：對(duì)于必然事件Ω，有P(ΩA)=1；
　�、劭闪锌杉有裕涸O(shè)B1,B2,…是兩兩互不相容的事件，則有
　　P(∪∞i=1BiA)=∑∞i=1P(BiA)。
　�。�2）乘法公式
　　設(shè)P(A)>0,則有P(AB)=P(BA)P(A)。
　�。�3）全概率公式
　　設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A為E的事件，B1,B2,…,Bn為Ω的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n，則
　　P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+…+P(ABn)P(Bn)。
　　(4)貝葉斯（Bayes）公式
　　設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω。A為E的事件，B1,B2,…,Bn為Ω的一個(gè)劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則
　　P(BiA)=P(ABi)P(Bi)∑nj=1P(ABj)P(Bj),i=1,2,…,n。
　　三、事件的獨(dú)立性
　�。ㄒ唬┦录�獨(dú)立性的概念
　　1.對(duì)于兩個(gè)事件A,B，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立。
　　2.對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立,即對(duì)任意的1≤i　　P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，
　　則稱(chēng)A1,A2,…,An兩兩獨(dú)立。
　　3.對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任意k(2≤k≤n)個(gè)事件Ai1,Ai2,…,Aik，均有
　　P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),1≤i1　　則稱(chēng)A1,A2,…,An相互獨(dú)立。
　　4.對(duì)于事件序列{An}（n≥1）,如果對(duì)任意正整數(shù)n(n≥2),事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則稱(chēng)事件序列{An}（n≥1）相互獨(dú)立。
　　（二）獨(dú)立事件的性質(zhì)
　　1.若A與B相互獨(dú)立，則A與B,A與B，A與B也相互獨(dú)立。
　　2.若A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則其中任意m(2≤m≤n)個(gè)事件也相互獨(dú)立。
　　3.若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則
　　P(A1A2…An)=∏ni=1P(Ai),
　　P(A1∪A2∪…∪An)=1-∏ni=1P(Ai)。