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概率論與數(shù)理統(tǒng)計
本書涵蓋了高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)基本要求》中的全部知識, 對理工科學(xué)生需要掌握的概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識進行了深入細(xì)致的講解。對于概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程中需要掌握的基本概念、基本定理、基本方法給出了解釋和說明, 力求在循序漸進的過程中, 使讀者逐步掌握這門課程的內(nèi)容。
本書是定位于培養(yǎng)應(yīng)用型人才的工科院校而編寫的教材。本校一直使用本教材,效果良好。
本書是為定位于培養(yǎng)應(yīng)用型人才的工科院校而編寫的教材.
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科,是一門重要的、基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論課程.在本書編寫過程中,我們參照高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)基本要求》,考慮到教材的系統(tǒng)性,共分9章進行編寫.第1章至第5章為概率論的基本內(nèi)容,第6章至第8章為數(shù)理統(tǒng)計的基本內(nèi)容,第9章是概率統(tǒng)計實驗部分.通過本課程的學(xué)習(xí),可使讀者掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論和方法,培養(yǎng)讀者運用概率統(tǒng)計方法分析及解決實際問題的能力.
本書編寫中力求深入淺出,突出重點,對基本概念、重要公式和定理注意其實際意義的解釋和說明,力求在循序漸進的過程中,使讀者逐步掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本方法.根據(jù)工科院校后繼課程的要求,本書刪掉了有關(guān)隨機過程的內(nèi)容,以便更緊密地結(jié)合各類專業(yè)問題,使讀者學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課有的放矢,明確基礎(chǔ)課對后續(xù)專業(yè)課的意義.對于本書中一些重要的基本概述,給出了英文對照,便于讀者查閱相關(guān)文獻.本書在每一小節(jié)后相應(yīng)配上了一定數(shù)量的習(xí)題,便于讀者有針對性地鞏固復(fù)習(xí);在每一章結(jié)尾處,除總習(xí)題外還配有相應(yīng)的自測題,自測題型多樣,覆蓋面廣;并在全書最后給出詳細(xì)解答,便于讀者檢查自己對本章內(nèi)容的掌握情況.本書內(nèi)容涉及的著名概率統(tǒng)計學(xué)家、有趣的數(shù)學(xué)典故和容易混淆的問題以補充閱讀材料的形式給出,在學(xué)習(xí)知識的同時培養(yǎng)讀者的數(shù)學(xué)素養(yǎng),增強讀者對本課程的興趣.由于計算機應(yīng)用日益普及,第9章——概率統(tǒng)計實驗——介紹了MATLAB在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用,在輔助理解教學(xué)內(nèi)容的同時,增強了讀者的計算機應(yīng)用能力,為讀者解決實際問題奠定了良好的基礎(chǔ).
本書第1章由張麗萍編寫,第2章由張艷編寫,第3章和第5章由張蒙編寫,第4章由劉志強編寫,第6章由徐志潔編寫,第7章由王曉靜編寫,第8章由盧崇煜編寫,第9章由白羽編寫.全書內(nèi)容結(jié)構(gòu)由張艷、程士珍主持設(shè)計制定,并負(fù)責(zé)統(tǒng)稿和定稿.
由于編者水平有限,書中可能還存在疏漏和不當(dāng)之處,敬請讀者和同行批評指正.
編者2017年3月
張艷,北京建筑大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事的教學(xué)、科研工作。承擔(dān)本科生課程:高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù),研究生課程:矩陣論,漸近分析方法。科研主要方向為偏微分方程理論與應(yīng)用。針對生物流體、高分子材料等非牛頓流體的流動傳熱現(xiàn)象,結(jié)合數(shù)學(xué)物理分析方法,用非線性偏微分方程描述流體的傳遞擴散本質(zhì),通過對方程解的分析,解釋化工、醫(yī)學(xué)、能源等領(lǐng)域流體力學(xué)熱點問題的本質(zhì)。主持國家自然科學(xué)基金1項,北京市教委科技面上項目1項,北京市中青年骨干人才培養(yǎng)資助項目1項等10余項課題,發(fā)表論文60余篇,主編出版教材6部。北京市高校第五屆青年教師教學(xué)基本功比賽一等獎、*佳教案獎、*佳教學(xué)演示獎,北京市教育創(chuàng)新標(biāo)兵,北京高校優(yōu)秀共產(chǎn)黨員!癝CI”國際期刊“Discrete Dynamics in Nature and Society”、“International Journal of Heat and Mass Transfer”等審稿人。
第1章隨機事件的概率1
1.1隨機事件1
1.2隨機事件的概率7
1.3古典概型9
1.4條件概率14
1.5事件的獨立性19
小結(jié)21
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖22
總習(xí)題123
自測題123
第2章隨機變量及其分布25
2.1隨機變量25
2.2離散型隨機變量及其分布27
2.3隨機變量的分布函數(shù)33
2.4連續(xù)型隨機變量及其概率密度37
2.5隨機變量函數(shù)的分布46
小結(jié)51
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖52
總習(xí)題253
自測題255
第3章多維隨機變量及其分布57
3.1二維隨機變量57
3.2邊緣分布64
3.3條件分布66
3.4隨機變量的獨立性70
3.5二維隨機變量函數(shù)的分布73
小結(jié)78
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖80
總習(xí)題381自測題382
第4章隨機變量的數(shù)字特征85
4.1數(shù)學(xué)期望85
4.2方差93
4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)99
4.4矩103
小結(jié)103
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖103
總習(xí)題4104
自測題4105
第5章大數(shù)定律及中心極限定理107
5.1大數(shù)定律107
5.2中心極限定理111
小結(jié)115
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖115
總習(xí)題5115
自測題5117
第6章樣本及抽樣分布118
6.1隨機樣本118
6.2抽樣分布121
小結(jié)131
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖132
總習(xí)題6132
自測題6133
第7章參數(shù)估計135
7.1點估計135
7.2估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)143
7.3置信區(qū)間146
7.4正態(tài)總體的置信區(qū)間149
小結(jié)159
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖160
總習(xí)題7160
自測題7162
第8章假設(shè)檢驗164
8.1假設(shè)檢驗的基本概念164
8.2雙側(cè)假設(shè)檢驗169
8.3單側(cè)假設(shè)檢驗178
8.4樣本容量的選取186
小結(jié)190
知識結(jié)構(gòu)脈絡(luò)圖191
總習(xí)題8193
自測題8195
第9章概率統(tǒng)計實驗197
9.1實驗一MATLAB的基本操作197
9.2實驗二常用概率分布的函數(shù)213
9.3實驗三頻率與概率217
9.4實驗四常用統(tǒng)計命令220
9.5實驗五參數(shù)估計224
9.6實驗六假設(shè)檢驗226
9.7實驗七方差分析229
9.8實驗八回歸分析233
習(xí)題答案237
自測題答案251附表1幾種常用的概率分布261附表2泊松分布表262附表3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表265附表4t分布表266附表5χ2分布表267附表6F分布表269附表7均值的t檢驗的樣本容量276附表8均值差的t檢驗的樣本容量278參考文獻280
第3章多維隨機變量及其分布第2章主要講述了隨機變量以及隨機變量的分布.但在實際應(yīng)用中面對的情況經(jīng)常是十分復(fù)雜的,除了需要研究一個隨機變量外,更多的情況要涉及兩個或兩個以上的隨機變量,這些隨機變量之間往往存在著一定的聯(lián)系,經(jīng)常需要將它們作為一個整體來考察.因此,引入多維隨機變量(有時也稱為隨機向量)的概念,并對其分布加以研究很有必要.
本章主要介紹二維隨機變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨立性等概念,并分別針對離散型二維隨機變量和連續(xù)型二維隨機變量進行深入探討,最后介紹幾種常用的兩個隨機變量的函數(shù)的分布.
3.1二維隨機變量〖*1〗一、 二維隨機變量及其分布函數(shù)一個隨機變量只能描述單個不確定結(jié)果,在研究實際問題時,隨機試驗中出現(xiàn)的變量常常是兩個或兩個以上,這需要在對每個隨機變量進行研究以外,還要對它們之間的關(guān)系加以關(guān)注,由此就引出了多維隨機變量的概念.
定義1設(shè)E是一個隨機試驗,它的樣本空間S={e},設(shè)Xi=Xi(e),i=1,2,…,n,是定義在S上的n個隨機變量,由它們構(gòu)成的一個向量(X1,X2,…,Xn)叫做n維隨機向量或n維隨機變量(ndimensional random variable).
特殊地,當(dāng)n=2時,(X1,X2)構(gòu)成一個二維隨機變量,通常記做(X,Y).本書圍繞二維隨機變量展開講解,三維及更高維的情況與此類似.
例如,向某個平面區(qū)域隨機打點,描述該點的位置,需要兩個隨機變量X(e),Y(e)分別表示該隨機點的橫、縱坐標(biāo),則該點的坐標(biāo)(X,Y)就構(gòu)成一個二維隨機變量.在研究某一地區(qū)成年男子身體狀況時,每位成年男子的身高X(e)和體重Y(e)就構(gòu)成一個二維隨機變量(X,Y);考察某一地區(qū)的氣候狀況時,該地區(qū)每天的日平均氣溫X(e)和日平均濕度Y(e)就構(gòu)成一個二維隨機變量(X,Y).
注意: 必須是針對同一個樣本點e的X(e)和Y(e),才能構(gòu)成一個二維隨機變量.
對于二維隨機變量,仍然是通過分布函數(shù)、分布律和概率密度這三個工具來研究取值規(guī)律的.
與一維隨機變量類似,首先給出二維隨機變量的分布函數(shù)的定義.
定義2設(shè)(X,Y)是二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y,稱二元函數(shù)F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(3.1.1)為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)(joint distribution function).
類似的,可以有n維隨機變量分布函數(shù)的定義.
定義3n維隨機變量(X1,X2,…,Xn),對于任意實數(shù)x1,x2,…,xn,稱n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(3.1.2)為隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù),或(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).
下面以二維隨機變量為例,對分布函數(shù)加以深入研究. 如果把二維隨機變量(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標(biāo),式(3.1.1)右端可以理解為隨機點落入平面區(qū)域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率,即以點(x,y)為右上端點的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.如圖31陰影部分所示.
由此可知,一旦給出了F(x,y),就可以計算事件{x1圖32
其次,分布函數(shù)F(x,y)具有如下基本性質(zhì):
(1) 分布函數(shù)F(x,y)是關(guān)于x(或y)的單調(diào)不減函數(shù),即對于任意固定的y,當(dāng)x1(2) 0≤F(x,y)≤1,且F(-∞,-∞)=limx→-∞
y→-∞F(x,y)=0;
F(+∞,+∞)=limx→+∞
y→+∞F(x,y)=1;
對于任意固定的y,F(xiàn)(-∞,y)=limx→-∞F(x,y)=0;
對于任意固定的x,F(xiàn)(x,-∞)=limy→-∞F(x,y)=0.這四個式子,可以運用分布函數(shù)的幾何意義加以解釋.將圖31中無窮矩形的上邊界向下無限平移(即y→-∞),則“隨機點(X,Y)落在這個矩形內(nèi)”趨于不可能事件,其概率趨于0,即F(x,-∞)=0.當(dāng)上邊界、右邊界分別向上、向右無限平移,無窮矩形幾乎擴展到全平面,則“隨機點(X,Y)落在這個矩形內(nèi)”趨于必然事件,其概率趨于1,即F(+∞,+∞)=1.
(3) F(x,y)關(guān)于x(或y)右連續(xù),即
F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0),x∈R,y∈R.
(4) 對任意(x1,y1),(x2,y2),x1(2) 求P{0解(1) 由二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1;
y∈R,F(-∞,y)=AB-π2C+arctany3=0;
x∈R,F(x,-∞)=AB+arctanx3C-π2=0.由第一個等式可知A≠0,B+π2≠0,C+π2≠0.而第二個等式對于任意的實數(shù)y均成立, 第三個等式對于任意的實數(shù)x均成立,由此可知B=π2,C=π2.代入第一個等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.(2) 由性質(zhì)(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2-1π2π2+0π2+π2
-1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4
=116.與第2章中對一維隨機變量的研究一樣,二維隨機變量也主要研究離散型和連續(xù)型兩類隨機變量.二、 二維離散型隨機變量及其分布律
定義4如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無限對,則稱(X,Y)是二維離散型的隨機變量.
如果二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能取值為(xi,yj),i,j=1,2,…,則稱P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…(3.1.4)為二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(joint distribution law).
與一維的情況類似,二維離散型隨機變量的分布律也可以用表格表示,如下表所示.X
Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…yjp1jp2j…pij…
二維隨機變量(X,Y)具有如下性質(zhì):
(1) pij≥0,i,j=1,2,…;
(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
如果二維隨機變量(X,Y)的分布律如式(3.1.4)所示,則其分布函數(shù)為F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.(3.1.5)其中,∑xi≤x∑yj≤ypij表示對不大于x的xi和不大于y的yj所對應(yīng)的pij求和.
例2設(shè)隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取一個值,另一個隨機變量Y在1~X中等可能地取一個整數(shù)值,試求(X,Y)的分布律.
解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.
當(dāng)i當(dāng)i≥j時,pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.
于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為X
Y12341141811211620181121160001121160000116
三、 二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度
定義5設(shè)F(x,y)是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對任意實數(shù)x,y都有F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv,(3.1.6)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的概率密度,或X與Y的聯(lián)合概率密度(joint probability density).
二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性質(zhì):
(1) f(x,y)≥0;
(2) ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1;
(3) 若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù),則有2F(x,y)xy=f(x,y);(4) 設(shè)D為xOy平面上任一區(qū)域,點(X,Y)落在D中的概率為P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空間解析幾何中,z=f(x,y)表示空間的一個曲面,由性質(zhì)(2)可知,介于它和xOy平面之間的無限空間立體的體積為1;由性質(zhì)(4)可知,點(X,Y)落在區(qū)域D中的概率等于以D為底,以z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.
與一維隨機變量的結(jié)論類似,當(dāng)一個二元函數(shù)f(x,y)滿足性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)時,它一定是某個二維連續(xù)型隨機變量的概率密度.
例3設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae-12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.求: (1) 常數(shù)A; (2) 分布函數(shù)F(x,y); (3) P{X+Y≤2}.
解(1)由二維連續(xù)型隨機變量概率密度的性質(zhì)(2)可知:∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae-12(x+y)dxdy=1. 則A=14,故(X,Y)的概率密度為f(x,y)=14e-12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.(2) F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv
=14∫x0∫y0e-12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,
0,其他
=(1-e-x2)(1-e-y2),x≥0,y≥0,
0,其他.
……
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