本書分為拓?fù)淇臻g和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g三章,內(nèi)容包括:直線R上的拓?fù)、拓(fù)淇臻g、距離空間、數(shù)值函數(shù)的極限概念、Hilbert空間等。
隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學(xué),在其發(fā)展過程中,一批卓越的法國數(shù)學(xué)家發(fā)揮了杰出的作用,作出了奠基性的貢獻(xiàn)。他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著不可替代的地位,在大學(xué)教科書、各種專著及種種數(shù)學(xué)史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名。在他們當(dāng)中,包括笛卡兒、費(fèi)馬、帕斯卡、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當(dāng)、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦茲及利翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿,也包括一些現(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻(xiàn)的著名數(shù)學(xué)家。由于他們的出色成就和深遠(yuǎn)影響,法國的數(shù)學(xué)不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平,而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨(dú)特的風(fēng)格,一直在國際數(shù)學(xué)界享有盛譽(yù)。
我國的現(xiàn)代數(shù)學(xué),在20世紀(jì)初通過學(xué)習(xí)西方及日本才開始起步,并在艱難曲折中發(fā)展與成長,終能在2002年成功地在北京舉辦了國際數(shù)學(xué)家大會(huì),在一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個(gè)多世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐,實(shí)現(xiàn)了跨越式的發(fā)展。這一巨大的成功,根源于好幾代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的艱苦奮斗,根源于我們國家綜合國力不斷提高所提供的有力支撐,根源于改革開放國策所帶來的強(qiáng)大推動(dòng),也根源于很多國際數(shù)學(xué)界同仁的長期鼓勵(lì)、支持與幫助。在這當(dāng)中,法蘭西數(shù)學(xué)精品長期以來對我國數(shù)學(xué)界所起的積極影響,法蘭西數(shù)學(xué)的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對我國數(shù)學(xué)家所起的不可低估的潛移默化作用,無疑也是一個(gè)不容忽視的因素。足以證明這一點(diǎn)的是:在我國的數(shù)學(xué)家中,有不少就曾經(jīng)留學(xué)法國,直接受到法國數(shù)學(xué)家的栽培和法蘭西數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和風(fēng)格的薰陶與感召,而更多的人也或多或少地通過汲取法國數(shù)學(xué)精品的營養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。
《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》序
出版者的話
《分析與拓?fù)洹纷g者序
第二版序言
修訂版序言
C1證書的拓?fù)鋵W(xué)大綱
第一章 拓?fù)淇臻g和距離空間
引言
Ⅰ.直線R上的拓?fù)?
§1.開集、閉集、鄰域、集合的界
§2.序列極限.cauchy收斂準(zhǔn)則
§3.有界閉區(qū)間的緊性
§4.空間Rn的拓?fù)?
Ⅱ.拓?fù)淇臻g
§5.開集、閉集、鄰域
§6.閉包、內(nèi)部、邊界
§7.連續(xù)函數(shù).同胚
§8.極限概念
§9.拓?fù)淇臻g的子空間
§10.空間的有限積
§11.緊空間
§12.局部緊空間.緊化
§13.連通性
§14.拓?fù)淙、拓(fù)洵h(huán)和拓?fù)溆?
Ⅲ.距離空間
§15.距離和擬距離
§16.距離空間的拓?fù)?
§17.一致連續(xù)性
§18.緊距離空間
§19.連通距離空間
§20.Cauchy列和完備空間
§21.逐次逼近法的模式
§22.簡單收斂和一致收斂
§23.等度連續(xù)函數(shù)空間
§24.全變差和長度
Ⅳ.習(xí)題
直線R與空間Rn
拓?fù)淇臻g
距離空間
Ⅴ.第一章的法漢術(shù)語對照和索引
Ⅵ.參考文獻(xiàn)
Ⅶ.定義和公理
Ⅷ.經(jīng)典記號(hào)的回顧
第二章 數(shù)值函數(shù)
Ⅰ.定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)
§1.F(E,R)和F(E,R)上的序關(guān)系
§2.數(shù)值函數(shù)的界
§3.函數(shù)族的上包絡(luò)和下包絡(luò)
Ⅱ.數(shù)值函數(shù)的極限概念
§4.函數(shù)沿E上的濾子基的上、下極限
§5.函數(shù)族的上、下極限
§6.在連續(xù)函數(shù)上的運(yùn)算
Ⅲ.半連續(xù)數(shù)值函數(shù)
§7.點(diǎn)上的半連續(xù)性
§8.全空間上的下半連續(xù)函數(shù)
§9.下半連續(xù)函數(shù)的構(gòu)造
§10.緊致空間上的半連續(xù)函數(shù)
§11.長度的半連續(xù)性
Ⅳ.Stone-Weierstrass定理
§12.Stone.Weierstrass定理
Ⅴ.定義在R的區(qū)間上的函數(shù)
§13.左、右極限
§14.單調(diào)函數(shù)
§15.有限增量定理
§16.凸函數(shù)的定義.直接性質(zhì)
§17.凸函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性
§18.凸性準(zhǔn)則.
§19.向量空間的子集上的凸函數(shù)
§20.單調(diào)函數(shù)的相對平均值
Ⅵ.習(xí)題
定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)
定義在拓?fù)淇臻g上的數(shù)值函數(shù)
半連續(xù)數(shù)值函數(shù)
Stone-Weierstrass定理
定義在區(qū)間上的函數(shù)
凸函數(shù)
平均值和不等式
Ⅶ.第二章的法漢術(shù)語對照和索引
Ⅷ.參考文獻(xiàn)
Ⅸ.定義和公理
第三章 拓?fù)湎蛄靠臻g
Ⅰ.一般拓?fù)湎蛄靠臻g.例子
§1.拓?fù)湎蛄靠臻g的定義和初等性質(zhì)
§2.關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)?
§3.拓?fù)湎蛄靠臻g的經(jīng)典實(shí)例
Ⅱ.賦范空間
§4.關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)?連續(xù)線性映射
§5.單態(tài)射和同構(gòu)的穩(wěn)定性
§6.賦范空間的乘積.連續(xù)多重線性映射
§7.有限維賦范空間
Ⅲ.可和族.級(jí)數(shù).無窮乘積.賦范代數(shù)
§8.實(shí)數(shù)可和族
§9.拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族
§10.級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較
§11.函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族
§12.復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無窮乘積
§13.賦范代數(shù)
Ⅳ.Hilbert空間
§14.準(zhǔn)Hilbert空間的定義和初步性質(zhì)
§15.正交投影.對偶的研究
§16.正交系
§17.Fourier級(jí)數(shù)和正交多項(xiàng)式
Ⅴ.習(xí)題
一般拓?fù)湎蛄靠臻g
關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)?
關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)?
范數(shù)的比較
范數(shù)和凸函數(shù)
賦范空間上的線性型
拓?fù)鋵ε伎臻g和二次對偶空間
緊致線性映射
完備賦范空間
可分賦范空間
非連續(xù)線性映射
賦范空間的乘積和直和
有限維賦范空間
實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的可和族
拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族
級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較
函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族
復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無窮乘積
賦范代數(shù)
準(zhǔn)Hilbert空間的初等性質(zhì)
正交投影.對偶空間的研究
正交系
正交多項(xiàng)式
Ⅵ.第三章的法漢術(shù)語對照和索引
Ⅶ.參考文獻(xiàn)
Ⅷ.定義和公理
第一章拓?fù)淇臻g和距離空間
引言
一般拓?fù)鋵W(xué)形成一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的理論整體那還只是半個(gè)世紀(jì)以來的事情①;但它可以追溯到古代,是人們思想發(fā)展的必然結(jié)果。
當(dāng)希臘數(shù)學(xué)家企圖將數(shù)的概念精確化的時(shí)候,極限與連續(xù)的概念就擺到了他們面前。然而,為了澄清收斂序列、收斂級(jí)數(shù)和連續(xù)函數(shù)的概念,尚需等待Cauchy(1821)和Abel(1823)的著作的問世。
到了Riemann(1851)的時(shí)代,框架更為擴(kuò)大;在Riemann的晉級(jí)論文《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中,他擬就了一個(gè)輝煌的大綱,即研究“多次擴(kuò)大的度量的一般概念,這里不僅擴(kuò)張到任意維的流形,并且也包括函數(shù)空間和集合的空間。
但是如果不具備對實(shí)直線(Dedekind)和對數(shù)值函數(shù)(Riemann,Weierstrass)的良好知識(shí),尤其是缺乏一種既精確又一般的語言,一個(gè)這樣的大綱是不可能實(shí)現(xiàn)的。Cantor(1873)創(chuàng)造了這種語言,從而打開了通向新世界的大門。