博洽內(nèi)容 獨特風(fēng)格
——《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》導(dǎo)讀

吳大任


（一）書和作者簡介

德國數(shù)學(xué)家F.克萊因的名著《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》（以下簡稱《初等數(shù)學(xué)》）已由舒湘芹等同志譯就，將由湖北教育出版社出版。“初等數(shù)學(xué)”指當(dāng)時德國中小學(xué)的數(shù)學(xué)，難度比我國中小學(xué)數(shù)學(xué)略高。本書曾由湖北教育出版社于20世紀(jì)90年代初出版�！�—編者中譯本出版，必將受到我國中青年教師和廣大數(shù)學(xué)工作者的歡迎，對我國各級學(xué)校的數(shù)學(xué)教育也將產(chǎn)生巨大作用。
F.克萊因（1849—1925）是有深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)家。他的貢獻(xiàn)遍及幾何、代數(shù)、函數(shù)論、理論物理以及數(shù)學(xué)史等，在這些領(lǐng)域，他都留下了經(jīng)典性著作。他是權(quán)威性的德國《數(shù)學(xué)百科全書》的主創(chuàng)者之一，曾任最高水平的德國《數(shù)學(xué)年刊》的主編，致力于這兩項事業(yè)達(dá)四十春秋。他熱誠地獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)教育及其改革，是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育國際委員會創(chuàng)始人之一，并始終積極參與其中的活動。他著述《初等數(shù)學(xué)》這樣的書，真可謂出色當(dāng)行，游刃有余，得心應(yīng)手。這書內(nèi)容十分博洽，而論述生動活潑，不拘一格，把嚴(yán)謹(jǐn)性和直觀性巧妙結(jié)合，深入淺出，使讀者有舉重若輕、左右逢源之感。
《初等數(shù)學(xué)》由F.克萊因的助手根據(jù)他在哥廷根大學(xué)講課內(nèi)容整理而成，分上下兩卷。上卷“算術(shù) 代數(shù) 分析”（第三版）于1924年出版；下卷“幾何”于1925年出版；英譯本于1939年出版。本書最終版共三卷，可參看本卷第三版序及第三卷譯者的話、第三版序�！�—編者60多年過去，數(shù)學(xué)面貌已有很大變化，我國目前的數(shù)學(xué)教育和德國當(dāng)年也有很大差異。我們閱讀這書時，對此必須注意。盡管如此，我們讀來，對其內(nèi)容和觀點，仍然感到十分親切。這是因為，其內(nèi)容主要是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，其觀點蘊含著真理。當(dāng)時德國數(shù)學(xué)教育中的不少問題，在今日我國仍然存在�？巳R因聲稱本書是為中學(xué)教師和成熟的大學(xué)生寫的，但按其內(nèi)容，所有對數(shù)學(xué)有一定了解的人都可以從中獲得教益和啟發(fā)。
數(shù)學(xué)科學(xué)的整體性和數(shù)學(xué)教育的連續(xù)性
要想用一兩句話來概括《初等數(shù)學(xué)》這本豐富多彩的書的特色，是困難的。也許可以說：它所展示的數(shù)學(xué)科學(xué)，是一個不斷發(fā)展著的有機整體；克萊因所設(shè)計的數(shù)學(xué)教育，是一個隨著數(shù)學(xué)發(fā)展而不斷更新的連續(xù)過程。正如書名《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》所示，書的著眼點是初等數(shù)學(xué)，觀點卻是高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)各個分支，特別是數(shù)學(xué)兩個基本對象——形與數(shù)結(jié)合起來了。講算術(shù)、代數(shù)、分析時，總是充分運用豐富的幾何圖像。而講幾何時，用的是代數(shù)工具，又不乏幾何語言。它還以大量篇幅闡述數(shù)學(xué)的各種概念和方法的發(fā)展與完善過程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過。這些進(jìn)程還在繼續(xù)。
以下試對《初等數(shù)學(xué)》的若干具體特色作些介紹。

（二）《初等數(shù)學(xué)》若干特色

高觀點
在《初等數(shù)學(xué)》的前言中，克萊因指出大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的“雙脫節(jié)”現(xiàn)象：大學(xué)生感到，他正在學(xué)的東西和中學(xué)學(xué)過的無關(guān)，而當(dāng)他們到中學(xué)任教時，大學(xué)所學(xué)的用不上，因而那些內(nèi)容就只存在于美好的記憶中。本書的直接目的自然是要改變這種不合理現(xiàn)象，以便把數(shù)學(xué)的新進(jìn)展中所產(chǎn)生的新觀念滲入中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，按我們現(xiàn)在的說法，就是使數(shù)學(xué)教育“現(xiàn)代化”。
克萊因所采用的書名表明，他認(rèn)為教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點。理由是，觀點越高，事物越顯得簡單。例如在實數(shù)域里不好理解的某些東西，從復(fù)數(shù)域的觀點看，就清楚了；在歐氏空間里某些不好解釋的現(xiàn)象，從射影空間的觀點看，就有滿意的說明。下面分別舉兩個具體的例子。
克萊因指出，在中學(xué)，關(guān)于對數(shù)的傳統(tǒng)講法是有明顯漏洞的。他建議把對數(shù)函數(shù)作為等角雙曲線下的面積來引進(jìn)，既簡單又明確。他又指出，在復(fù)數(shù)域里，對數(shù)是多值函數(shù)，作為實函數(shù)的對數(shù)只是其中無數(shù)多個值之一。所以，在復(fù)數(shù)域里，對數(shù)函數(shù)的本質(zhì)才看得清楚。我們的教師，無論是否愿意（或可能）采納克萊因所建議的引進(jìn)對數(shù)方式，有一點是可以肯定的：如果他了解作為復(fù)數(shù)的對數(shù)函數(shù)，當(dāng)他講實數(shù)時，就會心中有數(shù)，有可能彌補漏洞，至少當(dāng)學(xué)生提出疑問時，他能正確回答，應(yīng)付裕如。
通過變換群來闡明不同幾何的本質(zhì)及其相互關(guān)系，本是克萊因的偉大創(chuàng)見之一�！冻醯葦�(shù)學(xué)》用了很大篇幅來論述歐氏幾何、仿射幾何和射影幾何的關(guān)系。我認(rèn)為，中學(xué)幾何是歐氏幾何，但也涉及圖形的仿射性質(zhì)（如三角形的重心）和射影性質(zhì)（如三點共線）。如果教師能區(qū)別各種性質(zhì)，在教學(xué)中自然是有利的。克萊因舉了一個例子來說明局限在歐氏空間就不好理解的現(xiàn)象：兩個二階曲面一般相交于一條四階曲線，但兩個球面（二階曲面）一般只相交于一個（實的或虛的）圓（二階曲線）。原來，從射影空間觀點看，可以認(rèn)為，兩個球面還相交于“無窮遠(yuǎn)虛圓”，而兩個圓在一起，恰好構(gòu)成一條（退化的）四階曲線。
教師應(yīng)是多面手
克萊因?qū)�教師的要求是很高的�！冻醯葦?shù)學(xué)》涉及的面很廣。除正文4大部分外，還有兩個附錄：“數(shù)e和π的超越性”和“集合論”。每一大部分的寫法和通常寫法都很不相同，且其內(nèi)容有不少超出通常寫法的習(xí)慣范圍。例如在“算術(shù)”部分寫了四元數(shù)；在“幾何”部分寫了高維（以至無窮維）空間，并且隨時講到歷史和應(yīng)用。顯然，克萊因認(rèn)為，教師對這些都應(yīng)當(dāng)掌握或了解。他認(rèn)為，大學(xué)生學(xué)到的具體東西不少，而許多重要的，以及在中學(xué)任教中用得著的東西卻往往被忽視了。《初等數(shù)學(xué)》就著眼于彌補這些缺憾，揭示數(shù)學(xué)各部分之間的聯(lián)系，指出它們的共性，它們產(chǎn)生與成長的內(nèi)因、外因和過程以及它們的應(yīng)用，等等。克萊因認(rèn)為，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸?guī)r，渡過險灘。他喜歡用“融合”這個詞�！冻醯葦�(shù)學(xué)》也確實體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)同高等數(shù)學(xué)的融合，數(shù)學(xué)各部分的融合，幾何觀念和算術(shù)觀念在這里以及許多其他地方，“算術(shù)”是廣義的，用來表示純幾何的對立面，包括代數(shù)和分析。的融合，感性與理性的融合（甚至一維、二維、三維空間的融合），等等�？梢哉J(rèn)為，全書是以上各種融合的融合。強調(diào)這一切，是為了使大學(xué)生和教師對數(shù)學(xué)有較全面的觀點，有較高的修養(yǎng)。
數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史
克萊因反復(fù)強調(diào)的一個教育原則是按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律（包括年齡及成熟程度）進(jìn)行教學(xué)。具體地說，要由簡單到復(fù)雜，由低到高，由感性到理性等。他講數(shù)學(xué)歷史，是因為，他認(rèn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，在某種意義上，是與人類對數(shù)學(xué)認(rèn)知的歷史過程相應(yīng)的。當(dāng)然，這絕不是說，學(xué)生的認(rèn)知要重復(fù)歷史上人類的認(rèn)知。
在講述數(shù)學(xué)的歷史時，克萊因強調(diào)對事物認(rèn)識深化的必然性（這不排除偶然性）。某些新概念的出現(xiàn)，是由于客觀條件已經(jīng)成熟而非產(chǎn)生不可。例如他指出，負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，是不以數(shù)學(xué)家的意志為轉(zhuǎn)移的。非歐幾何產(chǎn)生后，許多數(shù)學(xué)家是被迫承認(rèn)它的。微積分由粗糙到嚴(yán)格，有著艱辛的歷程。函數(shù)概念和幾何對象范疇等的演化，都有過漫長的過程。我以為，了解一些歷史是很有意義的；我們的課程往往分別構(gòu)成首尾完整的邏輯體系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中很難充分領(lǐng)會到數(shù)學(xué)是如何逐步成長起來，它又將如何繼續(xù)發(fā)展。
公理體系
《初等數(shù)學(xué)》多處談到公理體系，特別是關(guān)于數(shù)的公理和幾何公理�？巳R因認(rèn)為，公理不能脫離直覺，不能排除人對客觀事物的認(rèn)識。因而反對那樣一種觀點：認(rèn)為公理可以隨心所欲地選取，只要它們彼此相容，即不產(chǎn)生矛盾就可以了。他還認(rèn)為，不能按照公理體系進(jìn)行教學(xué)。因為這首先不符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。邏輯不是數(shù)學(xué)教學(xué)中的唯一指導(dǎo)思想。此外，他還有一個更深刻的理由。他把數(shù)學(xué)比作一棵樹，公理比作樹的根，當(dāng)樹逐漸長大時，軀干和枝葉向上長，同時根也向下長。因此既沒有最后的終點，也沒有最初的始點，即沒有進(jìn)行教學(xué)的絕對基礎(chǔ)。至于教師，之所以要了解公理對數(shù)學(xué)的作用和意義，則是和他對教師的要求一致的；公理體系在數(shù)學(xué)作為一個演繹的邏輯結(jié)構(gòu)中，畢竟占有極其重要的地位，不了解它就不能了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和全貌。而在教學(xué)中，教師固然要考慮大多數(shù)學(xué)生的興趣和接受能力，同時他又應(yīng)能滿足一些才華出眾的學(xué)生的求知欲望，適當(dāng)?shù)鼗卮鹚麄兛赡芴岢龅膯栴}。
尺規(guī)作圖和費馬大定理
這兩個問題在《初等數(shù)學(xué)》中并不占重要位置，但克萊因?qū)λ鼈兊膸拙渚�辟議論，卻可以用來作為對我們許多青少年學(xué)生和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者的忠告�！冻醯葦�(shù)學(xué)》較詳細(xì)地討論了用圓規(guī)和直尺作圖問題。在談到三等分角問題即只用直尺和圓規(guī)把一個任意給定的角分為三等分的問題，是所謂“幾何三大問題”之一，另外兩個問題是“化圓為方”和“倍立方”。它們是古老的課題，但早已證明都是不可能的�；瘓A為方問題同圓周率的超越性有關(guān)，其他兩問題之不可能是用算術(shù)方法來證明的。時，克萊因指出：許多人拿出自己的“解法”，希望別人指出錯誤所在，但他們的知識基本上限于初等幾何，又不肯去了解利用算術(shù)方法早已作出的不可能性證明。為了使讀者對這種算術(shù)證明有所了解，以便當(dāng)他們接到送來的“解法”時，能站穩(wěn)腳跟，他給出了用直尺和圓規(guī)不可能作正七邊形的證明。
費馬大定理最近幾年才有了重大突破，但尚未最后解決。費馬大定理已由英國數(shù)學(xué)家安德魯??懷爾斯于1994年證明�！�—編者《初等數(shù)學(xué)》對這個“定理”的含義有個十分有趣的圖解，對它的歷史直到克萊因時代的研究狀況有簡明的介紹�？巳R因指出，自從1907年人們獲悉解答這問題（即證明或否定費馬大定理）的人會得到高額獎金后，就出現(xiàn)了大量的“證明”。這些人屬于各行各業(yè)，但他們有一個共同點：完全不了解探索這個問題所遇到的嚴(yán)重數(shù)學(xué)困難，也不想去了解困難所在，只妄想靠突發(fā)的靈感就一下子加以解決。他們的結(jié)果當(dāng)然是毫無意義的。

（三）對我們的啟發(fā)

以上對《初等數(shù)學(xué)》的管窺蠡測，不求全面，但求無大錯，可告無罪于該書作者和本文讀者。下面結(jié)合我國現(xiàn)狀，談幾點個人淺見，統(tǒng)請高明指教。
中學(xué)數(shù)學(xué)教師的提高方向
許多統(tǒng)計數(shù)字表明，我國中小學(xué)教師中有很大百分比沒有達(dá)到教育領(lǐng)導(dǎo)部門所規(guī)定的最低業(yè)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)。這里不談這些現(xiàn)象存在的根本原因（如教育投資長期太少，教師待遇過低），只談教師提高的方向。我以為，拓廣教師的知識領(lǐng)域，提高他們的教學(xué)修養(yǎng)，是當(dāng)務(wù)之急。為此，一個非常重要的策略是，必須把教師從“題�！敝薪饷摮鰜怼２簧俳處煴г�，經(jīng)常要花大量時間和精力去搜集習(xí)題，把解題方法分類，編寫習(xí)題解答，等等，根本顧不上進(jìn)修。而不那樣做，四面八方又不諒解。教師的這種苦衷，了解的人恐怕不多。事實上，“題海戰(zhàn)術(shù)”對廣大學(xué)生也是利少弊多。用各種方式幫助現(xiàn)有中小學(xué)教師提高，高等學(xué)校有責(zé)任，也有余力。在中小學(xué)教師大半已達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)后，這個標(biāo)準(zhǔn)還應(yīng)有所提高。
初等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題
若干年前，許多國家進(jìn)行過數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的研究和試驗�，F(xiàn)在談?wù)撍�的人似乎少些了。我以為，問題不在于要不要現(xiàn)代化，而在于如何現(xiàn)代化。有一條原則是必須堅持的，即要按學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識武裝中學(xué)教師，是初等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的前提。
大學(xué)數(shù)學(xué)系的任務(wù)
師范院校要面向中學(xué)的原則已經(jīng)定下來了，“向綜合大學(xué)看齊”的傾向也已經(jīng)改過來。其實，我以為，師范院校只要注意保持“師范”特色，綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系的課，師范院校也可以開設(shè)。我說的是“可以”，不是“全部必須”。因為中學(xué)教師掌握這些課的內(nèi)容有好處。至于綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)生也可以（甚至必須）有一定比例到中學(xué)任教。那種認(rèn)為綜合大學(xué)畢業(yè)生到中學(xué)教書是“大材小用”的說法，是站不住腳的。為什么大學(xué)生和研究生報名當(dāng)旅館服務(wù)員就不算“大材小用”？在許多國家，師范院校以外的大學(xué)畢業(yè)生還要通過教育課程的考試才能取得中學(xué)教師的資格呢。可見問題的根本在于教師的待遇。
大學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革
大學(xué)數(shù)學(xué)教育也大有改革余地。例如必修課分量偏重，“上層建筑”要求偏高，基礎(chǔ)不全不牢等，都不利于人才的健康成長；在大量招收研究生后更是如此。在這里，我只著重談?wù)剮缀涡蜗髥栴}。許多數(shù)學(xué)大師都強調(diào)形與數(shù)的統(tǒng)一。希爾伯特說過：“算術(shù)記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式�！笨巳R因認(rèn)為，幾何基礎(chǔ)可能要以算術(shù)為起點，卻不能脫離幾何直觀；而且他講算術(shù)問題時，總要結(jié)合幾何圖像。他們的觀點是完全一致的。問題是，在我們的高等數(shù)學(xué)教育中，幾何形象被嚴(yán)重忽視了。作為基礎(chǔ)課的解析幾何已不能保持最低限度的分量。許多代數(shù)和分析課強調(diào)自我演繹體系，從邏輯和審美觀點看很好，缺點是形與數(shù)固有的內(nèi)在聯(lián)系割斷了。純幾何的演繹體系似乎已逐漸成為歷史，為幾何、算術(shù)、代數(shù)所取代，但也不能因此而拋棄幾何直覺。另一個問題是，我們很少對學(xué)生介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史。在這兩方面，我認(rèn)為綜合大學(xué)有不少地方可以向師范院校學(xué)習(xí)。我們并不需要在綜合大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)恢復(fù)50年代作為必修課的幾何基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)史，但可以通過改革教學(xué)內(nèi)容和方法來達(dá)到加強幾何形象的目的。當(dāng)然，這涉及教師的培養(yǎng)與提高問題。
善于數(shù)學(xué)的“熱門課題”
在我國青少年學(xué)生和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者中，“幾何三大問題”（主要是三等分角問題）和費馬大定理（以及哥德巴赫問題）都是（或曾經(jīng)是）“熱門課題”，但他們“研究”的質(zhì)量似乎比克萊因時代的德國還低。其實前者已證明為不可能，后者即使在數(shù)學(xué)界也只是“熱門話題”而不是“熱門課題”。它們在我國某些人中之所以成為“熱門”，部分原因是他們片面理解“解放思想”，更重要的是我們宣傳教育不夠，我們希望教師們能做這些人的工作。對于執(zhí)著要搞這兩類問題的人，在肯定其精神可嘉之余，要教育他們尊重科學(xué)，實事求是，適當(dāng)?shù)叵蛩麄儭皾娎渌�”；鼓勵學(xué)生打好基礎(chǔ)，鼓勵業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者把精力和時間用于更能發(fā)揮自己專長的地方。
一點希望
希望我國有更多人像克萊因那樣關(guān)心數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)與提高，關(guān)心數(shù)學(xué)教育改革，并為此做些實事�！冻醯葦�(shù)學(xué)》中譯版的現(xiàn)實意義就在于，它將促進(jìn)這兩方面工作的進(jìn)程。但是德文本出版已過了64年，英譯本出版也過了50年�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)已發(fā)生了極大變化，新成果、新概念、新觀點、新學(xué)科層出不窮。但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)與真理是永恒的，像克萊因那樣探索數(shù)學(xué)教育的規(guī)律，當(dāng)是一以貫之的。我們熱切希望我國高水平的數(shù)學(xué)多面手寫出更結(jié)合我國實際的、現(xiàn)代化的《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》。這樣一本書出版，將是我國數(shù)學(xué)教育史上的一件大事。



1989年6月于南開大學(xué)