第1章 函數、極限與連續(xù) 1 1.1 函數及其性質 1 一、函數的概念 1 二、函數的幾種特性 6 三、初等函數 7 能力訓練題1.1 10 1.2 極限的概念 11 一、數列的極限 11 二、函數的極限 12 三、極限的性質 14 能力訓練題1.2 15 1.3 無窮小與無窮大 15 一、無窮小 15 二、無窮大 16 三、無窮大與無窮小的關系 17 能力訓練題1.3 17 1.4 極限的四則運算法則 18 能力訓練題1.4 21 1.5 兩個重要極限 22 一、limx→0sinxx=1 22 二、limx→∞1+1xx=e 23 能力訓練題1.5 25 1.6 無窮小的比較 26 一、等價無窮小的定義 26 二、等價無窮小的應用 26 能力訓練題1.6 27 1.7 函數的連續(xù)性 27 一、函數的連續(xù)性定義 27 二、函數間斷點 28 三、初等函數的連續(xù)性 29 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 30 能力訓練題1.7 32 能力測試題一 33 第2章 一元函數微分學 35 2.1 導數概念 35 一、引例 35 二、導數的定義 36 三、由定義求導舉例 37 四、左導數和右導數 38 五、導數的幾何意義 38 六、可導與連續(xù)的關系 39 能力訓練題2.1 40 2.2 導數的基本公式及運算法則 41 一、基本初等函數及常數的導數 41 二、導數的四則運算法則 42 三、反函數求導法則 43 四、復合函數的求導法則 43 五、隱函數的導數 45 六、對數求導法 46 能力訓練題2.2 47 2.3 函數的微分 49 一、微分的定義 49 二、微分的幾何意義 50 三、微分的計算 50 四、由參數方程確定的函數的導數 52 五、微分在近似計算中的應用 52 能力訓練題2.3 53 2.4 高階導數 54 能力訓練題2.4 56 2.5 微分中值定理與洛必達法則 57 一、微分中值定理 57 二、洛必達法則 60 能力訓練題2.5 63 2.6 函數的單調性及其極值 64 一、函數單調性的判別 64 二、函數的極值及其求法 66 能力訓練題2.6 70 2.7 函數的最值 71 一、閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值 71 二、最值應用題 72 能力訓練題2.7 74 2.8 曲線的凹凸性、拐點與 函數圖形的描繪 75 一、曲線的凹凸性與拐點 75 二、曲線的水平漸近線和垂直漸近線 77 三、函數圖形的描繪 78 能力訓練題2.8 79 能力測試題二 80 第3章 一元函數積分學 82 3.1 不定積分的概念與性質 82 一、原函數 82 二、不定積分的概念及幾何意義 82 三、不定積分的積分公式 84 能力訓練題3.1 86 3.2 換元積分法 86 一、第一類換元積分法(湊微分法) 87 二、第二類換元積分法 92 能力訓練題 3.2 94 3.3 分部積分法 95 能力訓練題3.3 100 3.4 定積分的概念及性質 100 一、引例 100 二、定積分的概念 102 三、定積分的幾何意義 104 四、定積分的性質 105 能力訓練題3.4 107 3.5 微積分基本公式 108 一、變上限的定積分 108 二、牛頓-萊布尼茨公式 110 能力訓練題3.5 112 3.6 定積分的積分方法 113 一、定積分的換元積分法 113 二、定積分的分部積分法 115 三、無窮區(qū)間上的廣義積分 116 能力訓練題3.6 118 3.7 定積分的應用 119 一、定積分的微元法 119 二、平面圖形的面積 120 三、立體的體積 122 四、物理應用 125 能力訓練題3.7 127 能力測試題三 128 第4章 微分方程 131 4.1 微分方程的基本概念 131 一、引例 131 二、微分方程的定義 132 能力訓練題4.1 133 4.2 一階微分方程 134 一、可分離變量的一階微分方程 134 二、一階線性微分方程 136 能力訓練題4.2 139 4.3 特殊的可降階的微分方程 140 一、用降階法解y(n)=f(x)類型的 方程 140 二、用降階法解 y″=f(x,y′)類型的 方程 140 能力訓練題4.3 141 4.4 二階線性微分方程 141 一、二階線性微分方程解的結構 141 二、二階常系數齊次線性微分方程的 解法 143 三、二階常系數非齊次線性微分方程的 解法 146 能力訓練題 4.4 150 能力測試題四 150 第5章 空間解析幾何與向量代數 152 5.1 空間直角坐標系 152 一、空間直角坐標系概念 152 二、空間點的直角坐標 153 三、空間兩點間的距離 153 四、二、三階行列式 154 能力訓練題5.1 157 5.2 向量及其運算 158 一、向量的概念 158 二、向量的線性運算 159 三、向量的坐標 160 四、向量運算的坐標表達 162 五、向量的位置關系 166 能力訓練題5.2 166 5.3 空間平面與直線 167 一、平面的點法式方程及一般式方程 167 二、點到平面的距離、兩平面的 位置關系 168 三、空間直線的方程 170 四、兩直線的位置關系 172 五、直線與平面的位置關系 172 能力訓練題5.3 173 5.4 空間曲面與曲線 174 一、曲面及其方程 174 二、常見的二次曲面及其方程 176 三、空間曲線方程 178 能力訓練題5.4 181 能力測試題五 182 第6章 多元函數微分學 183 6.1 多元函數的基本概念 183 一、多元函數概論 183 二、二元函數的極限 185 三、二元函數的連續(xù)性 186 能力訓練題6.1 187 6.2 偏導數 187 一、偏導數的概念 187 二、高階偏導數 190 三、多元復合函數的偏導數 191 四、多元隱函數求偏導 193 能力訓練題6.2 194 6.3 全微分 194 一、全微分的概念 194 二、全微分在近似計算中的應用 196 能力訓練題6.3 196 6.4 偏導數的幾何應用 197 一、空間曲線的切線和法平面 197 二、曲面的切平面與法線 198 能力訓練題6.4 199 6.5 多元函數極值問題 199 一、二元函數極值 199 二、最大值與最小值 201 三、條件極值 201 能力訓練題6.5 203 能力測試題六 203 第7章 多元函數積分學 205 7.1 二重積分 205 一、二重積分的概念 205 二、二重積分的性質 206 三、二重積分在直角坐標系中的 累次積分法 207 四、二重積分在極坐標系中的 累次積分法 211 能力訓練題7.1 213 7.2 二重積分的應用 214 一、幾何應用 215 二、物理應用 216 能力訓練題7.2 218 7.3 曲線積分 218 一、對坐標的曲線積分的概念 218 二、對坐標的曲線積分的計算 219 能力訓練題7.3 221 7.4 格林公式 222 一、格林公式 222 二、曲線積分與路徑無關的條件 223 能力訓練題7.4 225 能力測試題七 226 第8章 無窮級數 227 8.1 常數項級數 227 一、無窮級數的概念和基本性質 227 二、正項級數 230 三、任意項級數 233 能力訓練題8.1 235 8.2 冪級數 236 一、冪級數及其收斂性 236 二、冪級數的運算 239 三、函數展開成冪級數 240 四、和函數 244 能力訓練題8.2 245 能力測試題八 245 第9章 線性代數初步 247 9.1 行列式 247 一、 n階行列式的定義 247 二、行列式的性質 249 三、克萊姆法則 254 能力訓練題9.1 256 9.2 矩陣 258 一、矩陣的概念 258 二、矩陣的運算 261 三、矩陣的初等變換與矩陣的秩 266 四、逆矩陣 270 能力訓練題9.2 276 9.3 向量及其線性關系 279 一、n維向量的概念及運算 279 二、向量的線性關系 281 三、向量組的秩 284 能力訓練題9.3 285 9.4 線性方程組 286 一、線性方程組解的判定 287 二、齊次線性方程組解的結構 291 三、非齊次線性方程組解的結構 295 能力訓練題9.4 299 能力測試題九 301 綜合能力測試題 303 附錄Ⅰ 基本初等函數表 305 附錄Ⅱ 初等數學中的常用公式 308 附錄Ⅲ 幾種常用的平面曲線方程及其圖形 311