目錄
前言
第一版前言
序章 學好高等數(shù)學 1
0.1 初識高等數(shù)學 1
0.1.1 高等數(shù)學的定義 1
0.1.2 高等數(shù)學的主要內(nèi)容 1
0.1.3 微積分的發(fā)展歷史 2
0.2 學好高等數(shù)學 6
0.2.1 為什么要學習高等數(shù)學 6
0.2.2 如何學好高等數(shù)學 7
0.2.3 為實現(xiàn)“中國夢”努力學習 7
第1章 函數(shù)的極限與連續(xù) 9
1.1 函數(shù) 9
1.1.1 區(qū)間與鄰域 9
1.1.2 函數(shù)的定義 10
1.1.3 函數(shù)的幾何性質(zhì) 13
1.1.4 反函數(shù) 15
1.1.5 復合函數(shù) 16
1.1.6 基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 17
習題1.1 18
1.2 數(shù)列的極限 19
1.2.1 數(shù)列的概念 19
1.2.2 數(shù)列極限的定義 20
1.2.3 數(shù)列極限的性質(zhì) 24
1.2.4 數(shù)列極限存在的準則 25
1.2.5 數(shù)列的子列 27
習題1.2 28
1.3 函數(shù)的極限 29
1.3.1 自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限 29
1.3.2 自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限 30
1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 33
1.3.4 函數(shù)極限存在的準則 33
習題1.3 34
1.4 無窮小量與無窮大量 34
1.4.1 無窮小量 34
1.4.2 無窮大量 36
習題1.437
1.5 極限的運算法則 37
1.5.1 極限的四則運算法則 37
1.5.2 運用極限的四則運算法則求極限舉例 38
1.5.3 復合函數(shù)的極限法則 45
習題1.547
1.6 兩個重要極限 48
1.6.1 limx→0sinxx=148
1.6.2 limx→∞1+1xx=e 51
習題1.6 55
1.7 無窮小量階的比較 56
1.7.1 無窮小量階的比較定義 57
1.7.2 無窮小量的等價替代 58
習題1.7 61
1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 62
1.8.1 函數(shù)的連續(xù)性 62
1.8.2 函數(shù)的間斷點 65
習題1.8 68
1.9 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 69
1.9.1 連續(xù)函數(shù)的運算 69
1.9.2 初等函數(shù)的連續(xù)性 69
1.9.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 71
習題1.9 73
綜合練習題一 73
第2章 導數(shù)與微分 76
2.1 導數(shù)的概念 76
2.1.1 引例 76
2.1.2 導數(shù)的定義 78
2.1.3 導數(shù)的幾何意義 84
2.1.4 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系 85
習題2.1 87
2.2 導數(shù)的運算法則 88
2.2.1 導數(shù)的四則運算法則 89
2.2.2 反函數(shù)的求導法則 91
2.2.3 復合函數(shù)的求導法則 92
習題2.2 97
2.3 隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法 98
2.3.1 隱函數(shù)的求導法 98
2.3.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法 100
2.3.3 由極坐標方程所確定的函數(shù)的求導法 102
2.3.4 相關(guān)變化率 103
習題2.3 104
2.4 函數(shù)的微分 105
2.4.1 微分的定義 105
2.4.2 可微與可導的關(guān)系 106
2.4.3 基本初等函數(shù)的微分公式 107
2.4.4 微分的運算法則 108
2.4.5 微分的幾何意義 111
*2.4.6 微分在近似計算中的應用 112
習題2.4 113
2.5 高階導數(shù)與高階微分 114
2.5.1 高階導數(shù) 114
2.5.2 高階微分 120
習題2.5 121
綜合練習題二 122
第3章 微分中值定理與導數(shù)的應用 125
3.1 微分中值定理 125
3.1.1 費馬（Fermat）引理 125
3.1.2 羅爾(Rolle)中值定理 126
3.1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 127
3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 130
習題3.1 130
3.2 洛必達法則 131
3.2.1 洛必達法則 131
3.2.2 其他類型的未定式 133
3.2.3 需要注意的問題 135
習題3.2 137
3.3 泰勒公式 137
3.3.1 帶有拉格朗日余項的泰勒公式 138
3.3.2 帶有佩亞諾余項的泰勒公式 140
習題3.3 142
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值 142
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 142
3.4.2 函數(shù)的極值 145
3.4.3 函數(shù)的最大值和最小值 150
習題3.4 152
3.5 曲線的凹凸、拐點與漸近線 154
3.5.1 曲線的凹凸與拐點 154
3.5.2 曲線的漸近線 159
3.5.3 函數(shù)圖形的描繪 160
習題3.5 163
3.6 平面曲線的曲率 163
3.6.1 弧微分 164
3.6.2 曲率及其計算 165
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 169
習題3.6 170
綜合練習題三 171
第4章 積分 175
4.1 定積分的概念與性質(zhì) 175
4.1.1 定積分問題舉例 175
4.1.2 定積分的定義 177
4.1.3 定積分的幾何意義 179
4.1.4 定積分的性質(zhì) 180
習題4.1 184
4.2 原函數(shù)與微積分基本定理 185
4.2.1 原函數(shù) 185
4.2.2 積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 187
4.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習題4.2 193
4.3 不定積分的概念 194
4.3.1 不定積分的定義 194
4.3.2 不定積分與微分的關(guān)系 195
4.3.3 不定積分的性質(zhì) 197
4.3.4 不定積分的幾何意義 197
4.3.5 不定積分的直接積分法 198
習題4.3 200
4.4 不定積分的換元積分法 200
4.4.1 第一類換元積分法 201
4.4.2 第二類換元積分法 209
習題4.4 216
4.5 不定積分的分部積分法及分段函數(shù)的不定積分 217
4.5.1 不定積分的分部積分法 217
4.5.2 分段函數(shù)的不定積分 222
習題4.5 222
4.6 有理函數(shù)的不定積分 223
4.6.1 有理函數(shù)的不定積分 223
4.6.2 三角函數(shù)有理式的積分 231
習題4.6 233
4.7 定積分的換元法和分部積分法 234
4.7.1 定積分的換元積分法 234
4.7.2 定積分的分部積分法 238
習題4.7 240
4.8 廣義積分與Γ函數(shù) 241
4.8.1 無窮區(qū)間上的廣義積分 241
4.8.2 無界函數(shù)的廣義積分 243
4.8.3Γ函數(shù) 246
習題4.8 247
綜合練習題四 248
第5章 定積分的應用 252
5.1 微元法 252
5.2 定積分的幾何應用 253
5.2.1 平面圖形的面積 253
5.2.2 體積 257
5.2.3 平面曲線的弧長 260
習題5.2 262
5.3 定積分的物理應用 263
5.3.1 變力沿直線所做的功 263
5.3.2 液體的壓力 264
習題5.3 265
綜合練習題五 265
第6章 微分方程 267
6.1 微分方程的基本概念 267
習題6.1 270
6.2 一階微分方程 270
6.2.1 可分離變量的微分方程 270
6.2.2 齊次方程 273
6.2.3 一階線性微分方程 275
*6.2.4 伯努利(Bernoulli)方程 279
習題6.2 280
6.3 可降階的高階微分方程 282
6.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 282
6.3.2 y″=f(x,y′)型的微分方程 283
6.3.3 y″=f(y,y′)型的微分方程 284
習題6.3 285
6.4 二階常系數(shù)線性微分方程 286
6.4.1 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 286
6.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 288
6.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 292
習題6.4 297
綜合練習題六 298
附錄 301
常用初等數(shù)學公式 301
一、代數(shù)公式 301
二、三角公式 303
三、反三角函數(shù)與公式 304
四、初等幾何公式 305
習題與綜合練習題參考答案 307
參考文獻 329