Humanity always arithmetizes.
人類總是算術(shù)化。
戴德金，《何為數(shù)，何當(dāng)為數(shù)？》

幾乎每一個(gè)人自幼開始就學(xué)著數(shù)數(shù)、認(rèn)數(shù)。可以說從小開始，自然數(shù)就是大家日常打交道的對(duì)象之一。到上小學(xué)的時(shí)候，我們不僅更為熟練地?cái)?shù)數(shù)、認(rèn)數(shù)，更是花不少時(shí)間學(xué)習(xí)如何計(jì)算各種各樣的數(shù)值等式和大小比較的不等式，學(xué)習(xí)算術(shù)加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律，等等。可是，何為數(shù)？何當(dāng)為數(shù)？這里的問題不僅涉及有關(guān)數(shù)的本體論和認(rèn)識(shí)論的問題，涉及關(guān)于數(shù)的語義解釋以及真假判定問題，還涉及數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題。這不僅是戴德金問過的問題，事實(shí)上也是一個(gè)自古希臘開始無數(shù)思想者都問過的問題。他們不僅發(fā)問，而且也都各抒己見，從不同的角度對(duì)這樣的問題給出自己的解答。很明顯，這樣的問題也和其他哲學(xué)問題一樣是開放型問題，是那種很難有完全令人信服的終極答案的問題�？v觀迄今為止的所有具有代表性的解答，許多涉及根本的解答的確各有不盡如人意之處。尤其是，自然數(shù)這一概念究竟來自何處？到底是先驗(yàn)的，還是后驗(yàn)的？算術(shù)律的真性到底是由什么確定的？依據(jù)是什么？這些問題似乎依舊還有值得進(jìn)一步深究的地方。
在這里，本書試圖以自然界中自然產(chǎn)生的序現(xiàn)象為本，從我國古代先人們智慧地應(yīng)用序的事例出發(fā)，將自然數(shù)解釋為自然離散線性序序結(jié)構(gòu)在序同構(gòu)分類下的序型，將自然數(shù)之間的大小比較還原成自然離散線性序之間的嵌入比較關(guān)系，將自然數(shù)加法還原成具體的自然離散線性序序結(jié)構(gòu)之間的線性序聚合，將自然數(shù)乘法還原成具體的自然離散線性序序結(jié)構(gòu)之間的雙線性序整合。而這種序的聚合與整合早已被我國古代先賢們駕輕就熟地使用。當(dāng)本書將這些事實(shí)系統(tǒng)性地、嚴(yán)格地展現(xiàn)出來的時(shí)候，前面提到的一些問題的一種典型答案似乎應(yīng)當(dāng)明顯地躍然紙上。
在這個(gè)基礎(chǔ)上，本書沿著數(shù)概念延展的歷史軌跡，試圖說明在數(shù)學(xué)中像數(shù)這樣的基本概念是如何因?yàn)榻鉀Q現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際問題的需要，而沿著一條（無論是從邏輯的角度看還是從現(xiàn)實(shí)發(fā)展的角度看）典型的路徑被不斷延拓，以及這種數(shù)概念的典型延拓又怎樣內(nèi)在地激勵(lì)著數(shù)學(xué)自身向前發(fā)展。在這里的解釋中隱含著的是一些數(shù)學(xué)中典型的思維方法。對(duì)此，我們不想過多言說，因?yàn)檎嬲�的美更多的是盡在不言。
雖然本書討論的是數(shù)學(xué)哲學(xué)的問題，但我可能不習(xí)慣對(duì)關(guān)于這些問題的其他說法發(fā)表自己的看法。理由是在數(shù)學(xué)中，在自然科學(xué)中，思想者普遍奉行的是立字當(dāng)頭，破在其中；有道理，把道理講清楚了，其他的就留給愿意對(duì)比或評(píng)判的讀者。我大約也希望就算涉及的是哲學(xué)問題，我也只是努力把我能夠說清楚的講明白就好，對(duì)于任何其他說法，我都尊重，不必多言。唯一例外的是關(guān)于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)論者的一段宣言我會(huì)謹(jǐn)慎地提出自己的不同見解（詳見第1章結(jié)尾段落）。
本書將在緒論中扼要地呈現(xiàn)弗雷格（1884年）、赫爾姆霍茲（1887年）、克羅內(nèi)克（1887年）、戴德金（1888年）以及皮亞諾（1889年）關(guān)于自然數(shù)的論述，以展開本書的話題；在這一章的后半部分，本書將試圖明確必要的假設(shè)，并希望以此來明確本書的立足點(diǎn)和基本想法以及本書試圖說明的主要觀點(diǎn)。
第2章引進(jìn)一系列來自生活中的實(shí)例，并借助它們引進(jìn)本書所需要的基本數(shù)學(xué)概念：等價(jià)關(guān)系、關(guān)聯(lián)準(zhǔn)線性序、商線性序以及自然離散線性序；進(jìn)而試圖對(duì)自然離散線性序給出一種來自生活的規(guī)范性的表示。
第3章引進(jìn)序同構(gòu)與序嵌入，從而定義自然離散線性序的序型并揭示它們的剛性；結(jié)合我國先人們的智慧，本書會(huì)討論如何將算術(shù)運(yùn)算還原到序型的聚合與整合問題中，從而討論序型算術(shù)律及其真性問題，等等。
第4章討論正分?jǐn)?shù)的典型性來歷，試圖將正分?jǐn)?shù)數(shù)值等式以及正分?jǐn)?shù)算術(shù)律的真性與實(shí)際應(yīng)用中的解釋有效性關(guān)聯(lián)起來。
第5章沿著從幾何量到正無理數(shù)以及實(shí)數(shù)軸發(fā)展的歷史軌跡，重現(xiàn)數(shù)概念演變延拓的典型路徑。
第6章解釋為了滿足什么樣的需要，實(shí)數(shù)概念又怎樣被延展到向量概念以及矩陣概念；同時(shí)，本章還將展示如何將物理上的實(shí)際操作用數(shù)學(xué)上的運(yùn)算（函數(shù)）恰當(dāng)?shù)乇硎境鰜�。本章試圖說明的是：之所以數(shù)學(xué)會(huì)在自然科學(xué)中有如此功能性的廣泛應(yīng)用，就在于數(shù)學(xué)中的典型對(duì)象（函數(shù)）原本就來自對(duì)實(shí)際操作的恰到好處的抽象。
第7章解釋康托的集合論與超限序數(shù)，以及在集合論中如何規(guī)范地解釋自然數(shù)以及實(shí)數(shù)這些概念。本書也希望明確康托的超限序數(shù)與有限序數(shù)之間的自然關(guān)聯(lián)，從而提示數(shù)學(xué)中新概念產(chǎn)生的一條典型思路。這一章中，本書也大致地展示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基礎(chǔ)理論------集合論------的主要內(nèi)容。我們需要這樣做，因?yàn)檫@是對(duì)數(shù)概念規(guī)范的終極解釋。除了集合論公理化內(nèi)容之外，本章的重點(diǎn)是康托在1883年引進(jìn)超限序數(shù)的論文的主要內(nèi)容以及他對(duì)于實(shí)數(shù)的定義。
最后，第8章引進(jìn)了實(shí)數(shù)算術(shù)理論以及自然數(shù)算術(shù)理論的非標(biāo)準(zhǔn)模型。這樣做的目的是試圖解釋數(shù)這樣的概念實(shí)際上具有很大的可伸縮性，并非如早先的那些先驗(yàn)論者所想象的那樣一層不變。這些嚴(yán)格定義出來的非標(biāo)準(zhǔn)模型會(huì)展示牛頓--萊布尼茨早年想象的無窮大量與無窮小量可以是數(shù)學(xué)意義上的真實(shí)存在對(duì)象，它們也是數(shù)。
實(shí)話實(shí)說，我原本不會(huì)對(duì)有關(guān)數(shù)的哲學(xué)問題感興趣，因?yàn)樵谖铱磥�，集合論�?duì)自然數(shù)的解釋已經(jīng)至臻完善，可謂終究極致。然而，生活中的機(jī)緣常常會(huì)將人帶到意想不到的境地。我首先應(yīng)當(dāng)感謝復(fù)旦大學(xué)的郝兆寬教授，一位難得的相識(shí)多年的年輕朋友。差不多十年前，是他送給我一本由他和楊睿之合作翻譯的美國學(xué)者斯圖爾特·夏皮羅所著《數(shù)學(xué)哲學(xué)：對(duì)數(shù)學(xué)的思考》（Thinking about Mathematics---The Philosophy of Mathematics）。從這本書中我第一次接觸到數(shù)學(xué)哲學(xué)思考者所關(guān)注的有關(guān)數(shù)的那些問題，帶著這些問題去讀《數(shù)學(xué)哲學(xué)》，自然會(huì)有一些不怎么明白的地方，也就難免胡思亂想。如果就此打住，也便沒有什么。誠如前此我在《邏輯與發(fā)現(xiàn)》的序言中說過的，機(jī)緣有時(shí)也會(huì)展現(xiàn)出難得的連貫性。去年，非常意外也十分榮幸地接受清華大學(xué)哲學(xué)系劉奮榮教授的邀請，到清華大學(xué)---阿姆斯特丹大學(xué)邏輯學(xué)聯(lián)合研究中心訪問。恰逢清華大學(xué)人文學(xué)院剛啟動(dòng)的日新書院需要為書院中選拔出來的哲學(xué)學(xué)堂班開設(shè)哲學(xué)經(jīng)典與專題研討班，其中有一門四十八學(xué)時(shí)的邏輯學(xué)交叉科學(xué)專題。劉奮榮教授建議我來主講，并把我引薦給了負(fù)責(zé)學(xué)堂班工作的夏瑩教授。這便成了義不容辭的工作任務(wù)。為了給這些優(yōu)秀的學(xué)生們準(zhǔn)備一份拿得出手的講義課件，我便將有關(guān)數(shù)的那些雜亂的想法整理出來，以期與學(xué)堂班的同學(xué)們一道從認(rèn)識(shí)論的角度來審視數(shù)概念的形成與演變。自然，我完全假設(shè)了這樣做是合適的。于是，呈現(xiàn)給讀者的這本小冊子的梗概便出自那些講義。我也有意在這本小冊子中保留了那些講義課件的一些痕跡，因?yàn)樵谖铱磥碓��?jīng)給這些優(yōu)秀的學(xué)生講過這樣的內(nèi)容是一份非常值得的記憶。因此，請?jiān)试S我借此機(jī)會(huì)表達(dá)對(duì)劉奮榮教授、夏瑩教授以及復(fù)旦大學(xué)的郝兆寬教授、楊睿之教授的衷心感謝，也非常感謝清華大學(xué)人文學(xué)院以及哲學(xué)系對(duì)我的訪問所提供的便利和支持。

馮琦
2022年9月