近二十年來(lái), 隨機(jī)過(guò)程由于其在數(shù)理金融等領(lǐng)域的應(yīng)用而倍受關(guān)注, Merton 和 Scholes 在期權(quán)定價(jià)方面的工作獲得諾貝爾獎(jiǎng)之后更是如此。 因此作者覺(jué)得有必要對(duì)學(xué)生介紹隨機(jī)過(guò)程的一些基本知識(shí)。 本書(shū)是為數(shù)學(xué)系本科高年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)的隨機(jī)過(guò)程選修課而寫(xiě)的,目的在于讓他們對(duì)隨機(jī)過(guò)程的經(jīng)典問(wèn)題和方法有一個(gè)初步的了解。 本書(shū)主要介紹Poisson過(guò)程、更新過(guò)程、隨機(jī)游動(dòng)、鞅以及Markov 鏈的基本理論。作為最簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程, 它們的研究有悠久的歷史和直觀自然的背景。實(shí)際上, 許多連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程的結(jié)論都可以在這些隨機(jī)序列的經(jīng)典結(jié)果中發(fā)現(xiàn)它們的影子。 第一章講述概率論基礎(chǔ), 包括隨機(jī)變量的收斂性以及條件期望、矩母函數(shù)、母函數(shù)等工具。 第二章介紹Poisson點(diǎn)過(guò)程, 主要介紹如何處理等待時(shí)間與隊(duì)列問(wèn)題, 并簡(jiǎn)單討論了復(fù)合Poisson過(guò)程的實(shí)際背景。 第三章主要介紹的是一個(gè)基本更新定理, 也為后面的Markov鏈性質(zhì)做些鋪墊。同時(shí)提出隨機(jī)游動(dòng), 也就是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和, 將介紹一些經(jīng)典的方法和問(wèn)題。 第四章講述隨機(jī)過(guò)程的基本理論和存在性定理,使本書(shū)建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基石之上。從邏輯角度考慮, 它是后面討論 Markov 鏈所必需的,實(shí)際上給定轉(zhuǎn)移函數(shù)的 Markov 鏈的存在性在直觀上是自然的, 因此即使讀者不能很好地理解這一章, 也不會(huì)影響對(duì)其它內(nèi)容的理解。 第五章討論離散時(shí)間 Markov 鏈的基本理論和經(jīng)典方法, 它的研究一直是概率論中最為活躍的領(lǐng)域。還簡(jiǎn)要介紹早已有所論述但最近才被人關(guān)注的 Markov 鏈與電路網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)聯(lián)系。 第六章將介紹鞅理論。從 某種意義上說(shuō), 鞅是隨機(jī)游動(dòng)的一個(gè)自然推廣。比起隨機(jī)游動(dòng), 鞅是較為現(xiàn)代的理論, 它的主要發(fā)展是在20世紀(jì)下半葉。 鞅在許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用, 這里我們簡(jiǎn)單介紹鞅在金融理論中的應(yīng)用, 也就是簡(jiǎn)二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)。雖然簡(jiǎn)單, 但足以表達(dá) Black-Schloes 及 Merton 理論的基本思想。 本書(shū)涉及的大部分內(nèi)容可以說(shuō)是簡(jiǎn)單直觀, 解決其中的問(wèn)題也不需要太多的數(shù)學(xué)工具,對(duì)稍有基礎(chǔ)的讀者來(lái)說(shuō)不難理解。
何萍，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。2001年3月獲日本國(guó)立金澤大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，之后在復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)所博士后流動(dòng)站從事博士后研究工作，2003年7月入職上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。曾訪問(wèn)美國(guó)華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)系，也多次訪問(wèn)日本參加學(xué)術(shù)會(huì)議、進(jìn)行短期的學(xué)術(shù)交流。在《中國(guó)科學(xué)》《數(shù)學(xué)年刊》，美國(guó)的《概率年刊》《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)報(bào)》，日本的《大阪數(shù)學(xué)志》等刊物發(fā)表多篇SCI檢索論文。分別于2007年與2012年獲得國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助，均已結(jié)項(xiàng)。目前授課重點(diǎn)在本科《隨機(jī)過(guò)程引論》和研究生《概率論與隨機(jī)過(guò)程》,均獲上海財(cái)經(jīng)大學(xué)校級(jí)重點(diǎn)課程項(xiàng)目資助。
第一章 概率論述要………………………………………………………………………… 1 1.1 隨機(jī)變量 ………………………………………………………………………… 1 1.1.1 概率空間……………………………………………………………… 1 1.1.2 分布…………………………………………………………………… 4 1.1.3 期望與方差…………………………………………………………… 5 1.1.4 例……………………………………………………………………… 6 1.2 隨機(jī)向量………………………………………………………………………… 17 1.2.1 聯(lián)合分布 …………………………………………………………… 17 1.2.2 協(xié)方差與協(xié)方差矩陣 ……………………………………………… 18 1.2.3 例 …………………………………………………………………… 18 1.3 極限定理………………………………………………………………………… 28 1.3.1 可積性與不等式 …………………………………………………… 28 1.3.2 Bernoulli大數(shù)定律 ………………………………………………… 29 1.3.3 Borel大數(shù)定律……………………………………………………… 30 1.3.4 中心極限定理 ……………………………………………………… 37 1.4 矩母函數(shù)及母函數(shù)……………………………………………………………… 38 習(xí)題一 …………………………………………………………………………………… 41 第二章 隨機(jī)過(guò)程預(yù)備知識(shí) ……………………………………………………………… 44 2.1 條件期望………………………………………………………………………… 44 2.1.1 事件域與可測(cè)性 …………………………………………………… 44 2.1.2 條件概率與條件期望 ……………………………………………… 46 2.1.3 理解條件期望 ……………………………………………………… 53 2.2 隨機(jī)過(guò)程的定義及例…………………………………………………………… 57 2.2.1 定義 ………………………………………………………………… 57 2.2.2 樣本軌道 …………………………………………………………… 59 2.2.3 常見(jiàn)的隨機(jī)過(guò)程 …………………………………………………… 61 習(xí)題二 …………………………………………………………………………………… 64 第三章 離散時(shí)間馬氏鏈 ………………………………………………………………… 67 3.1 隨機(jī)游動(dòng)………………………………………………………………………… 67 3.1.1 格點(diǎn)軌道與反射原理 ……………………………………………… 68 3.1.2 對(duì)稱簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng) ………………………………………………… 70 3.2 馬氏鏈的基本定義……………………………………………………………… 75 3.3 Chapman-Kolmogorov方程與狀態(tài)的分類 …………………………………… 82 3.3.1 Chapman-Kolmogorov方程 ……………………………………… 82 3.3.2 狀態(tài)之間的關(guān)系 …………………………………………………… 83 3.3.3 狀態(tài)的分類 ………………………………………………………… 84 3.4 P n 的極限性質(zhì)與平穩(wěn)分布 …………………………………………………… 96 3.4.1 基本極限定理 ……………………………………………………… 96 3.4.2 平穩(wěn)分布 …………………………………………………………… 97 3.5 Galton-Watson分支過(guò)程 …………………………………………………… 104 習(xí)題三…………………………………………………………………………………… 108 第四章 Poisson過(guò)程 …………………………………………………………………… 114 4.1 預(yù)備知識(shí) ……………………………………………………………………… 114 4.2 Poisson過(guò)程的定義…………………………………………………………… 116 4.3 來(lái)到間隔與等待時(shí)間的分布 ………………………………………………… 118 4.4 來(lái)到時(shí)間的條件分布 ………………………………………………………… 121 4.5 非齊次Poisson過(guò)程* ………………………………………………………… 126 4.6 復(fù)合Poisson過(guò)程 …………………………………………………………… 130 習(xí)題四…………………………………………………………………………………… 135 第五章 更新過(guò)程………………………………………………………………………… 140 5.1 基本定義 ……………………………………………………………………… 140 5.2 N(t)的分布與更新函數(shù) ……………………………………………………… 141 5.2.1 N(t)的分布 ……………………………………………………… 141 5.2.2 更新函數(shù)…………………………………………………………… 142 5.3 極限定理與停時(shí) ……………………………………………………………… 143 5.3.1 停時(shí)………………………………………………………………… 144 5.3.2 基本更新定理……………………………………………………… 146 5.4 關(guān)鍵更新定理及其應(yīng)用* …………………………………………………… 148 5.4.1 更新定理…………………………………………………………… 148 5.4.2 關(guān)鍵更新定理的應(yīng)用……………………………………………… 150 習(xí)題五…………………………………………………………………………………… 152 第六章 鞅………………………………………………………………………………… 155 6.1 公平游戲與鞅 ………………………………………………………………… 155 6.2 鞅基本定理 …………………………………………………………………… 158 6.2.1 停時(shí)………………………………………………………………… 160 6.2.2 Wald等式 ………………………………………………………… 161 6.2.3 首次通過(guò)時(shí)………………………………………………………… 162 6.3 在金融中的應(yīng)用 ……………………………………………………………… 168 6.3.1 模型無(wú)關(guān)的定價(jià)定理……………………………………………… 168 6.3.2 二叉樹(shù)模型………………………………………………………… 173 6.3.3 美式買入期權(quán)……………………………………………………… 175 習(xí)題六…………………………………………………………………………………… 176 第七章 Brown運(yùn)動(dòng) ……………………………………………………………………… 178 7.1 Brown運(yùn)動(dòng)的定義 …………………………………………………………… 180 7.2 Brown運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) …………………………………………………………… 180 7.3 Brown運(yùn)動(dòng)的其他性質(zhì) ……………………………………………………… 187 7.3.1 首中時(shí)與最大值變量……………………………………………… 187 7.3.2 反正弦律…………………………………………………………… 189 7.4 例 ……………………………………………………………………………… 190 7.5 粗糙軌道 ……………………………………………………………………… 193 7.6 Brown運(yùn)動(dòng)與鞅 ……………………………………………………………… 197 習(xí)題七…………………………………………………………………………………… 201 參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………………… 203
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