本書主要研究帶有干擾和時滯的一維熱方程的性能輸出跟蹤與反饋鎮(zhèn)定問題。主要研究內(nèi)容由以下兩類問題組成:第一類重點討論帶有輸入時滯和外部干擾的熱方程的輸出跟蹤問題,其中干擾由有限維外系統(tǒng)生成。此類問題運用backstepping變換和內(nèi)模原理等方法解決。第二類重點討論帶有一般干擾的熱方程常微分方程(ODEs,OrdinaryDiferentialEquations)級聯(lián)系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題。此類問題運用執(zhí)行動態(tài)補償和自抗擾控制等方法解決。全書主要分為7個章節(jié)。

第1章是緒論,主要介紹研究背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及主要研究結果。

第2章討論帶有外部干擾和輸入時滯的一維熱方程的輸出跟蹤問題,其中干擾由有限維外系統(tǒng)生成。本章討論的問題中存在非同位情形:輸出和輸入非同位;輸出和部分干擾非同位;輸入和部分干擾非同位。由于輸入時滯由一階傳輸方程生成,那么帶有輸入時滯的熱方程的輸出跟蹤問題可以轉(zhuǎn)化為一階傳輸方程熱方程級聯(lián)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。這一變化使得偏微分方程(PDEs,PartialDiferentialEquations)等數(shù)學工具在處理時滯問題時有用武之地。本章利用內(nèi)模原理以及backstepping變換等方法解決PDE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。在使用backstepping變換時,運用算子形式完成控制器的設計,這是本章的一大亮點。由于干擾由有限維外系統(tǒng)生成,因此可以利用內(nèi)模原理進行估計/消除。對于非同位帶來的問題,可以通過兩次軌跡規(guī)劃解決。

第3章討論帶有輸入時滯和外部干擾的邊界不穩(wěn)定熱方程的輸出跟蹤問題,其中干擾由外系統(tǒng)生成。第2章研究的熱系統(tǒng)中,邊界條件是熱流邊界條件,也就是Neumann邊界條件。當系統(tǒng)不含干擾時,該系統(tǒng)中熱量在表面各點的流速為零,是相對理想化的物理模型。而第3章研究具有對流換熱邊界條件的熱系統(tǒng),該系統(tǒng)是工程控制中更為普遍存在的系統(tǒng)。系統(tǒng)中對流換熱系數(shù)的數(shù)值與換熱過程中系統(tǒng)的物理性質(zhì)有很大的關系,邊界對流換熱項在特殊情況下會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。本章首先將輸入時滯問題轉(zhuǎn)化為PDE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題,然后通過構造合適的輔助系統(tǒng)將非同位問題轉(zhuǎn)變成同位問題,同時輸出跟蹤問題轉(zhuǎn)變成鎮(zhèn)定問題,最后利用backstepping變換設計控制器鎮(zhèn)定變換以后的系統(tǒng),利用相差可逆變換的系統(tǒng)之間的等價性實現(xiàn)系統(tǒng)的輸出跟蹤。在處理干擾造成的問題時,由于干擾的動態(tài)結構已知,仍然利用內(nèi)模原理進行估計/消除。

第4章研究帶有輸入時滯和外部干擾的反應擴散方程的輸出跟蹤問題,其中干擾由外系統(tǒng)生成。反應擴散方程在近代科學中廣泛描述物理、化學和生物等領域的各種現(xiàn)象。本章將輸入時滯動態(tài)表示為一階雙曲方程,那么所研究的控制系統(tǒng)就變成雙曲方程拋物方程的級聯(lián)系統(tǒng)。運用軌跡規(guī)劃的方法解決非同位結構造成的問題。運用內(nèi)模原理成功估計出系統(tǒng)的狀態(tài)和外部干擾,先根據(jù)估計/消除策略將干擾抵消,然后設計全狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)的輸出跟蹤,最后設計基于誤差的觀測器。結論表明,所得閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。

第5章研究帶有干擾的ODE-熱方程級聯(lián)系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題,其中干擾和控制都在系統(tǒng)的右端。與第2、第3、第4章不同,本章研究的問題中,干擾是一般的干擾,而不是由外系統(tǒng)生成的,這樣干擾的信息幾乎是完全未知的,內(nèi)模原理不再適用。因此采取自抗擾控制方法針對原系統(tǒng)設計干擾估計器來估計干擾,然后通過未知型輸入觀測器估計系統(tǒng)狀態(tài)。本章未知輸入觀測器的設計沒有使用高增益,并且簡化現(xiàn)有結果的設計步驟。另外,在設計控制器時,引入執(zhí)行動態(tài)補償方法,這是本章的一大亮點。執(zhí)行動態(tài)補償方法涉及的核函數(shù)是常微分方程,這種常微分方程總是解析可解的,使得控制器的設計更為簡便。

第6章研究通過Dirichlet邊界連接的ODE-反應擴散方程級聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。ODE-反應擴散方程級聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題可以看作是帶有反應擴散執(zhí)行動態(tài)的常微分方程的補償問題。為了更深刻地理解并運用執(zhí)行動態(tài)補償方法,本章利用執(zhí)行動態(tài)補償方法設計控制器指數(shù)鎮(zhèn)定級聯(lián)系統(tǒng)。這種方法與傳統(tǒng)的backstepping變換最大的不同點在于控制器設計過程不依賴目標系統(tǒng)的選擇且得到的核函數(shù)是常微分方程,這個常微分方程總是解析可解的。在證明閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性時,該方法擺脫Lyapunov函數(shù)的構造,使得證明過程更加簡單。

第7章總結全書,并在本書所討論內(nèi)容的基礎上對后續(xù)研究進行說明。

本書是作者多年研究工作及成果的匯總,同時包含對未來研究方向的展望。本書有幸獲得山西省基礎研究計劃項目的資助,山西大學馮紅銀萍教授團隊為本書的正式出版給予了很大的支持,謹表示衷心感謝。

王麗

2024年6月