01進(jìn)位制的知識(shí)
1.1形形色色的進(jìn)位制
在日常生活和生產(chǎn)勞動(dòng)中，人們幾乎時(shí)刻都在跟數(shù)打交道，其中接觸最多的是自然數(shù)。自然數(shù)有無窮多個(gè)。我們知道，讀數(shù)要有名稱，寫數(shù)要有記號(hào)。對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)，如果都用一個(gè)獨(dú)立的名稱和記號(hào)來表示它，那是辦不到的，也是不便記憶和應(yīng)用的。那么，該怎么辦呢？
人類經(jīng)過長期的實(shí)踐，創(chuàng)造了用少量的名稱和記號(hào)來表示任何一個(gè)自然數(shù)的記數(shù)辦法。這個(gè)記數(shù)辦法就是根據(jù)位值原則，用一定數(shù)量的數(shù)字來表示眾多的自然數(shù)。所謂位值原則，就是把數(shù)字排成橫列來表示一個(gè)自然數(shù)時(shí)，每一個(gè)數(shù)字除了表示本身的值以外，還有一個(gè)所在的位置賦予的值（即位置值）。位值原則又叫做數(shù)字和數(shù)位相結(jié)合的原則。這樣，即使是同一個(gè)數(shù)字，由于它在所表示的自然數(shù)里有著不同的位置，也就表示著不同的數(shù)值。
不要小看位值原則，以為它平常得很。在歷史上，位值原則是杰出而重要的思想，是人類文明的重要里程碑之一，也是數(shù)學(xué)史上無與倫比的一個(gè)光輝成就。當(dāng)時(shí)發(fā)明這樣一種方法的困難之大，正如數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Ｌaplace，1749~1827）所指出的那樣，可從如下事實(shí)中推斷出來：甚至像阿基米德（Archimedes，公元前287~前212）和阿波羅尼（Apollonius，約公元前260~前170）這兩位古代最偉大的天才也未能注意到它�，F(xiàn)在看來，羅馬數(shù)字未能采用位值原則也說明了這一論斷。位值原則是千百年人類智慧的結(jié)晶，它給予記數(shù)的簡化與計(jì)算的便當(dāng)，為人們提供了極為有利的條件。對(duì)此，馬克思曾經(jīng)高度地評(píng)價(jià)過位值原則的出現(xiàn)，稱贊它是“最美妙的數(shù)學(xué)發(fā)明”。
由于人類經(jīng)常用雙手來接觸事物，也就經(jīng)常用雙手的10個(gè)指頭來進(jìn)行計(jì)數(shù)。成語“屈指可數(shù)”正說明了這一點(diǎn)。一邊數(shù)，一邊扳手指；10個(gè)手指扳滿了，就在地上放一塊石頭（或者別的東西），用來代表“十”；然后再數(shù)，滿了10個(gè)，再放一塊石頭；積滿了10塊石頭，再換一個(gè)其他的東西，用來代表“一百” 這樣，從計(jì)數(shù)的實(shí)踐中就逐漸地形成了記數(shù)的辦法：用10個(gè)數(shù)字（數(shù)碼）——0，1，2，3，4，5，6，7，8，9——按照位值原則來表示任意一個(gè)自然數(shù)。這個(gè)辦法——計(jì)數(shù)和記數(shù)的制度，稱為十進(jìn)位制，簡稱十進(jìn)制。這里，“十”叫做十進(jìn)制的底數(shù)（或進(jìn)率）�！皾M十進(jìn)一”是它的一個(gè)特點(diǎn)。這就是說，在每相鄰的兩個(gè)數(shù)位之間，10個(gè)低級(jí)單位便可組成一個(gè)高級(jí)單位。我們把計(jì)數(shù)和記數(shù)時(shí)“滿幾進(jìn)一”的制度，統(tǒng)稱為數(shù)的進(jìn)位制。十進(jìn)制是人類用得最經(jīng)常、最廣泛、最熟悉的一種進(jìn)位制
1920年前后，科學(xué)家易勒斯（W.C.Eels）調(diào)查了美國亞美利亞各族的307種原始的記數(shù)方法中，發(fā)現(xiàn)有146種是十進(jìn)制的。 。在小學(xué)數(shù)學(xué)里開始學(xué)習(xí)和研究的，也就是這種十進(jìn)制的數(shù)，簡稱十進(jìn)數(shù)。
但是，人類也用到非十進(jìn)制。例如，二進(jìn)制、五進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等。在人類的記數(shù)史上，十進(jìn)制與各種非十進(jìn)制都顯示過身手。即使是現(xiàn)代，也絕不是十進(jìn)制的一統(tǒng)天下，其他各種非十進(jìn)制都還在起著各自的作用。
二進(jìn)制對(duì)于理論的研究很有價(jià)值。它在電子計(jì)算機(jī)上有著重要的應(yīng)用。另外，為了克服用二進(jìn)制來表示一個(gè)數(shù)往往書寫較長的缺點(diǎn)，有的電子計(jì)算機(jī)也用到八進(jìn)制（或十六進(jìn)制）。
五進(jìn)制比十進(jìn)制出現(xiàn)得更早。這是由于在一般情況下伸出一只手比伸出一雙手更自然的緣故。五進(jìn)制曾經(jīng)普遍使用于美洲大陸、西伯利亞北部與非洲的許多民族。從現(xiàn)在尚在使用的羅馬數(shù)碼每增加五就創(chuàng)立一個(gè)新的符號(hào)中仍可見到五進(jìn)制的遺跡。時(shí)至今日，玻里尼亞群島和美拉尼西亞群島上的居民還在使用五進(jìn)制。我國的“五行”也可以說是以金、木、水、火、土往復(fù)循環(huán)的五進(jìn)制。
十二進(jìn)制是使用較方便的一種進(jìn)位制，因?yàn)?2能夠被1，2，3，4，6，12所整除。進(jìn)行除法運(yùn)算的時(shí)候，十二進(jìn)制不像十進(jìn)制那樣經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)的商。世界上許多國家都曾經(jīng)采用過十二進(jìn)制。例如，一個(gè)鐘面有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè)月以及西方國家有1英尺＝12英寸，1先令＝12便士等。在英語、德語中，1到12的數(shù)詞，其詞根都不相同，而大于12的數(shù)詞其詞根就出現(xiàn)循環(huán)重復(fù)的現(xiàn)象，從中也可看出采用過十二進(jìn)制的痕跡。另外，古代羅馬人曾經(jīng)用過十二進(jìn)制。每12個(gè)為一個(gè)單位，叫做一打仁（Do，簡稱打），12打仁叫做1格魯斯（Gro，簡稱蘿），12格魯斯叫做1馬斯（Mo）�，F(xiàn)在，還經(jīng)常把12作為一“打”來計(jì)算物體的件數(shù)，并且在商業(yè)方面有時(shí)也用到“蘿”。由于12比10有更多的因數(shù)，瑞典國王查理十二世就曾經(jīng)大力推行過十二進(jìn)制，而在美國至今仍有一個(gè)“美國十二進(jìn)制協(xié)會(huì)”公開申明致力于十二進(jìn)制的推廣普及工作。
十六進(jìn)制，東西方國家都曾經(jīng)采用過。例如，我國的舊秤，1斤＝16兩；在歐洲，1磅＝16盎司，1俄尺＝16俄寸等。
二十進(jìn)制，它使人們想起人類的赤腳時(shí)代，因?yàn)閷?duì)于不穿鞋的部落來說，利用腳趾是很自然的事情。這種進(jìn)位制曾經(jīng)被美洲印第安人所普遍采用，并以其用于高度發(fā)達(dá)的瑪雅（Maya）數(shù)系中而稱著。歐洲一些國家的文字，也留下了使用二十進(jìn)制的痕跡。例如，法語表示80用單詞quatre-vingts（四倍的二十），而90則用單詞quatre-vingt-dix（四倍的二十與十）。又如英語three-score and seven years ago（67年以前），原意是“三個(gè)二十又七年以前”。
六十進(jìn)制的使用起源于古巴比倫人（居住在現(xiàn)今的伊拉克）。現(xiàn)在時(shí)間以及度量角或弧的單位里，還保留著60秒為1分、60分為1小時(shí)，或60分為1度的規(guī)定。這就是古巴比倫人留給我們的遺產(chǎn)。
我國“干支”中的“天干”（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）是十進(jìn)制，“地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）則是十二進(jìn)制。將10個(gè)“天干”與12個(gè)“地支”循環(huán)相配形成：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥等60組，俗稱“六十花甲子”，則是六十進(jìn)制。我國古代曾用“六十花甲子”、“干支”表示年、月、日和時(shí)的次序，周而復(fù)始，循環(huán)使用�，F(xiàn)在農(nóng)歷的紀(jì)年上，仍有用到。
另外，還有一季度有3個(gè)月、一個(gè)月有3旬的三進(jìn)制，一年有四季、一小時(shí)有4刻鐘的四進(jìn)制，一星期有7天的七進(jìn)制，一天有24小時(shí)的二十四進(jìn)制，一個(gè)月有30天的三十進(jìn)制等。最為古怪的是新西蘭采用過十一進(jìn)制。
一般人出自使用的習(xí)慣，可能認(rèn)為十進(jìn)制是最好的進(jìn)位制。其實(shí)用什么樣的進(jìn)位制，還要根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐的需要來確定。例如，從天文、歷法以及數(shù)學(xué)上度量角或弧的研究來考慮，用六十進(jìn)制就比較好，因?yàn)?0有著較多的因數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，用六十進(jìn)制來算1/2、1/3、1/4、1/5、1/6小時(shí)（或度）等于多少分，就比人們用慣了的十進(jìn)制方便。因此，不同的進(jìn)位制有著不同的長處和短處，不能籠統(tǒng)地說哪種進(jìn)位制最好。
顯然，不應(yīng)有一進(jìn)制。不然的話，滿一進(jìn)一，滿一進(jìn)一 便會(huì)陷入無止境的進(jìn)位之中。這怎么能用來表示一個(gè)自然數(shù)呢？因此，除了“1”以外，任何正整數(shù)k（k≥2）都可以作為進(jìn)位制的底數(shù)。于是就有了形形色色的進(jìn)位制以及用k進(jìn)制所表示的數(shù)（簡稱k進(jìn)數(shù)）。
1.2 k進(jìn)數(shù)的表示法
我們知道，十進(jìn)制使用了10個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，它的底數(shù)是10，它的特點(diǎn)是滿十進(jìn)一。這樣，10個(gè)“一”便構(gòu)成1個(gè)“十”，10個(gè)“十”便構(gòu)成1個(gè)“百”，10個(gè)“百”便構(gòu)成1個(gè)“千”，10個(gè)“千”便構(gòu)成1個(gè)“萬” 也就是說，按照位值原則，從右邊起，第一位上的一個(gè)單位是“一”，第二位上的一個(gè)單位是“一”的10倍，第三位上的一個(gè)單位是“一”的102倍，第四位上的一個(gè)單位是“一”的103 倍，第五位上的一個(gè)單位是“一”的104倍 因此，底數(shù)10的各次冪恰好是十進(jìn)制的各個(gè)計(jì)數(shù)單位
第一位上的計(jì)數(shù)單位“一”，是底數(shù)10的0次冪。這種情況，對(duì)k進(jìn)制也適用，因?yàn)槿我徽�整�?shù)k的0次冪都等于1。
例如，53862就是
5
第五位
104位(萬)3
第四位
103位(千)
8
第三位
102位(百)
6
第二位
101位(十)
2
第一位
100位(個(gè))
這樣，任何一個(gè)十進(jìn)數(shù)都可以寫成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與它所在的計(jì)數(shù)單位（10的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。例如，
53862＝5×104＋3×103＋8×102＋6×10＋2
我們掌握了十進(jìn)數(shù)的表示法，就不難理解二進(jìn)數(shù)的表示法了。類似地，二進(jìn)制使用了兩個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)：0，1。它的底數(shù)是2，它的特點(diǎn)是滿二進(jìn)一。
為了區(qū)別起見，除了常用的十進(jìn)數(shù)外，對(duì)于其他進(jìn)位制的數(shù)，常在數(shù)的右下角注明進(jìn)位制的底數(shù)。例如，二進(jìn)數(shù)1011就寫成1011(2)，讀為二進(jìn)數(shù)一、○、一、一。在不發(fā)生混淆的情況下，有時(shí)也可以把右下角的底數(shù)省去不寫。
與十進(jìn)制相類似，二進(jìn)制也是按照位值原則來記數(shù)的。從二進(jìn)數(shù)的右邊起，第一位上的“1”是“一”，第二位上的“1”是“一”的2倍，第三位上的“1”是“一”的22倍，第四位上的“1”是“一”的23倍 底數(shù)2的各（自然數(shù)）次冪也恰好是二進(jìn)制的各個(gè)計(jì)數(shù)單位。
例如，1011（2）就是
1
第四位
23位0
第三位
22位1
第二位
21位
1
第一位
20位
這樣，任何一個(gè)二進(jìn)數(shù)都可以寫成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與它所在的計(jì)數(shù)單位（2的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。例如，
1011（2）＝1×23＋1×2 ＋1
一般地，k進(jìn)制（k為正整數(shù)，且k≥2）將使用k個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)：0，1， ，k-1。它的底數(shù)是k，它的特點(diǎn)是滿k進(jìn)一。按照位值原則，用
anan-1 a1 a0 (k)
表示k進(jìn)數(shù)an an-1 a1 a0 ，其中，an，an-1 ， ，a1 ，a0 均表示0～(k-1)這k個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)。但an≠0(下標(biāo)ｎ，ｎ-1， ，1，0均為十進(jìn)數(shù)）。an an-1 a1 a0 (k) 讀做k進(jìn)數(shù)an ，an-1， ，a1 ，a0 （從左到右，依次讀出各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的名稱）。它的各個(gè)計(jì)數(shù)單位
十進(jìn)制有它的小數(shù)，其計(jì)數(shù)單位是10-1＝0.1（十分位），10-2＝0.01（百分位）， 。類似地，k進(jìn)制也有它的小數(shù)，其計(jì)數(shù)單位是k-1，k-2， 。本書只在非負(fù)整數(shù)范圍內(nèi)討論問題，不介紹k進(jìn)制的小數(shù)等方面的知識(shí)。是
an
第n+1位
kn位an-1
第n位
kn-1位
a1
第二位
k1位
a0
第一位
k0位
這里，底數(shù)k的各（自然數(shù)）次冪就是k進(jìn)制的各個(gè)計(jì)數(shù)單位。任何一個(gè)k進(jìn)數(shù)都可以寫成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與它所在的計(jì)數(shù)單位（k的冪）之積的和（一般采用從左到右的降冪排列）的形式。
an an-1 a1 a0 (k) ＝an kn ＋an-1 kn-1 ＋ ＋a1 k＋a0
對(duì)于k進(jìn)數(shù)an an-1 a1 a0 ，為研究方便，一般稱an 為它的最高位上的數(shù)，稱an-1為它的次高位上的數(shù) 并且根據(jù)其位數(shù)的多少稱它為幾位k進(jìn)數(shù)。
對(duì)于k進(jìn)制，當(dāng)k大于10時(shí)，現(xiàn)有十進(jìn)制的10個(gè)數(shù)字符號(hào)已不夠使用。為了表示k進(jìn)數(shù)就要對(duì)數(shù)字符號(hào)作一些增加。例如，十一進(jìn)制可增加符號(hào)“0′”（有的書上用“0”）代表“十”，十二進(jìn)制可再增加符號(hào)“1′”（有的書上用“1”）代表“十一”等。
現(xiàn)在，把十進(jìn)制與二、三、五、八、十二進(jìn)制的前面幾個(gè)非負(fù)整數(shù)列表對(duì)照如表1-1所示。
表1-1