《數(shù)學建�！芬杂脭�(shù)學解決實際問題所需要的知識和技能為順序。介紹了數(shù)學建模的基本概念、方法與步驟。以及常用的計算方法、數(shù)值軟件。分專題介紹幾個主要數(shù)學分支的相關知識及其在具體問題中的應用。《數(shù)學建�！饭财哒�。內(nèi)容包括數(shù)學建模所需要的基本知識：數(shù)學建模概念、數(shù)值軟件、常用計算方法；進行數(shù)學基本應用的初等模型、常微分方程模型、最優(yōu)化模型和概率論與數(shù)理統(tǒng)計模型�！稊�(shù)學建�！肪x了幾十個實際問題的數(shù)學模型。具有一定的啟發(fā)性。各章后安排有一定數(shù)量的練習題。便于進一步的學習。
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目錄
前言
第1 章數(shù)學建�；靖拍� 1
1. 1 數(shù)學模型的概念 1
1.1. 1 模型 1
1.1. 2 數(shù)學模型 2
1. 2 數(shù)學模型的分類 2
1. 3 數(shù)學建模的原則 3
1. 4 數(shù)學建模的方法 4
1. 4.1 機理分析法 4
1. 4. 2 測試分析法 4
1. 4. 3 綜合分析法 4
1. 5 數(shù)學建模的步驟 4
1. 5. 1 建模準備 4
1. 5. 2 分析簡化 4
1. 5. 3 模型建立 5
1. 5. 4 模型求解 5
1. 5. 5 模型的評價與改進 5
1. 5. 6 模型應用 5
1. 6 數(shù)學建模競賽簡介 6
1. 6. 1 美國數(shù)學建模競賽 6
1. 6. 2 中國數(shù)學建模競賽 6
1. 6. 3 參加數(shù)學建模競賽需要的知識 7
習題1 8
第2 章計算方法 9
2. 1 代數(shù)插值 9
2. 1. 1 插值問題 9
2. 1. 2 Lagrange 插值 11
2.2 數(shù)值微積分四
2.2.1 等距節(jié)點的積分公式 17
2.2.2 復化積分公式 23
2.2.3 數(shù)值微分 30
2.3 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 31
2.3.1 數(shù)據(jù)擬合最小二乘法的思想 32
2.3.2 最小二乘法擬舍曲線的步驟 32
2.3.3 數(shù)值例子 35
2.4 常微分方程數(shù)值解法42
2.4.1 解的存在唯一性 42
2.4.2 Euler 折錢法 42
2.4.3 改進Euler 折線法 43
2.4.4 預估-校正法 44
2.5 算法應用實例 6
2.5.1 教堂頂部曲面面積的計算 45
2.5.2 水塔流量的估計 49
2.5.3 輪船擱渝問題 56
習題2 59
第3 章初等模型 65
3.1 企業(yè)盈虧分析模型 65
3. 1. 1 問題及分析 65
3. 1. 2 模型及應用 65
3.2 優(yōu)秀研究成果的評選 67
3.2.1 評選方案 67
3.2.2 方案分析 67
3.3 錄像機計數(shù)器的用途 69
3.3.1 問題提出 69
3.3.2 問題分析 69
3.3.3 模型假設 69
3.3.4 模型建立 69
3.3.5 參數(shù)估計 70
3.3.6 模型應用 71
3.4 住房貸款 71
3.4.1 住房貸款問題 71
3.4.2 住房貸款與還款方式 71
3.4.3 等額本息貸款還款法 73
3.4.4 等額本金貸款還款法 75
習題3 77
第4 章常微分方程模型 79
4. 1 常微分方程的基本解法 79
4. 1. 1 一階常微分方程的解法 79
4. 1. 2 高階常微分方程的降階解法 83
4. 1. 3 高階線性常微分方程的解法 86
4.2 常微分方程的簡單應用 89
4.2.1 人口預測模型 89
4.2.2 市場價格模型 92
4.2.3 混合禧液模型 93
4.3 導彈跟蹤問題 94
4.3.1 問題提出 94
4.3.2 數(shù)學建模 95
4.3.3 模型求解 96
4.4 行星的軌道和位置 103
4.4.1 實際問題 103
4.4.2 背景介紹 104
4.4.3 模型建立 104
4.4.4 模型求解 106
習題4 113
第5 章最優(yōu)化模型 115
5.1 優(yōu)化問題與優(yōu)化軟件介紹 115
5. 1. 1 優(yōu)化問題 115
5. 1. 2 LINω 軟件簡介 117
5.2 線性規(guī)劃 118
5.2.1 線性規(guī)劃的特點 119
5.2.2 線性規(guī)劃模型 119
5.2.3 生產(chǎn)安排 120
5.2.4 運輸問題 122
5.3 非線性規(guī)劃 127
5.3.1 非線性規(guī)劃模型 127
5.3.2 選址問題 127
5.4 整數(shù)規(guī)劃 130
5.4.1 整數(shù)規(guī)劃模型 130
5.4.2 指派問題和裝貨問題 130
5.5 目標規(guī)劃 135
5.5.1 目標規(guī)劃的基本概念 135
5.5.2 目標規(guī)劃模型 136
5.5.3 序貫式算法 136
5.5.4 投資問題 137
5.6 動態(tài)規(guī)劃 143
5.6.1 動態(tài)規(guī)劃的基本概念 143
5.6.2 負荷分配與存儲問題 144
5.7 多目標規(guī)劃 147
5.7.1 多目標規(guī)劃模型 148
5.7.2 多目標規(guī)劃的求解方法 148
5.7.3 組合投資問題 150
5.8 綜合實例 153
5.8.1 人員安排方案 153
5.8.2 工廠升級方案 158
習題5 164
第6 章概率論與敢理統(tǒng)計模型 167
6.1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計簡介 167
6. 1. 1 概率論 167
6. 1. 2 數(shù)理統(tǒng)計 169
6.2 概率論方法建模 172
6.2.1 釣魚問題 173
6.2.2 報童策略 173
6.2.3 存儲問題 175
6.2.4 軋鋼問題 177
6.2.5 隨機人口模型 181
6.2.6 自動化車床管理 183
6.3 數(shù)理統(tǒng)計方法建模 191
6.3.1 方差分析 191
6.3.2 回歸分析 195
6.3.3 判別分析方法 197
6.3.4 相關分析方法 200
6.3.5 聚類分析 201
6.3.6 最優(yōu)評卷問題 202
習題6 209
第7 章鼓值軟件 211
7.1 MATLAB 簡介 211
7. 1. 1 MATLAB 的產(chǎn)生 211
7. 1. 2 MATLAB 的使用說明 212
7.2 MATLAB 的數(shù)值計算 213
7.2. 1 MATLAB 的數(shù)據(jù)類型 213
7.2.2 向量及其運算 214
7.2.3 矩陣的運算 215
7.2.4 多項式及其運算 217
習題7.2 219
7.3 MATLAB 的符號運算 220
7.3.1 符號表達式的生成 220
7.3.2 符號與數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換 221
7.3.3 符號函數(shù)的運算 222
7.3.4 符號矩陣的創(chuàng)立 223
7.3.5 符號矩陣的計算 223
7.3.6 符號徽積分 224
7.3.7 符號代數(shù)方程求解 225
7.3.8 符號常微分方程求解 226
7.3.9 符號函數(shù)的二維圖 226
7.3. 10 圖示化函數(shù)計算器. 227
習題7.3 227
7.4 MATLAB 的圖形繪制 228
7.4.1 二維圖形 228
7.4.2 三維圄形 231
7.4.3 圖形處理的基本技術 233
7.4.4 固形處理的高級技術 235
習題7.4 240
7.5 MATLAB 的程序設計 241
7.5.1 M 文件介紹 241
7.5.2 控制語句 243
習題7.5 245
參考文獻 246
第1章數(shù)學建模基本概念
隨著科學技術的發(fā)展和社會的進步，數(shù)學在自然科學、社會科學、工程技術與現(xiàn)代化管理等方面獲得了越來越廣泛而深入的應用，人們逐漸認識到建立數(shù)學模型的重要性.實際問題的解決往往包括以下四個方面：數(shù)學建模、模型求解、結(jié)果分析、具體應用.數(shù)學建模是解決實際問題中的一個重要環(huán)節(jié)，下面就對數(shù)學模型的基本知識作一介紹。
1.1數(shù)學模型的概念
1.1.1模型
在日常生活和工作中，人們經(jīng)常會遇到或用到各種模型，如飛機模型、水壩模型、火箭模型、人造衛(wèi)星模型、大型水電站模型等實物模型；也有用文字、符號、圖表、公式、框圖等描述客觀事物的某些特征和內(nèi)在聯(lián)系的模型，如模擬模型、數(shù)學模型等.模型是客觀事物的一種簡化的表示和體現(xiàn)，它應具有如下的特點：
(1)它是客觀事物的一種模仿或抽象，它的一個重要作用就是加深人們對客觀事物如何運行的理解.為了使模型成為幫助人們合理進行思考的一種工具，要用一種簡化的方式來表現(xiàn)一個復雜的系統(tǒng)或現(xiàn)象.
(2)為了能協(xié)助人們解決問題，模型必須具備所研究系統(tǒng)的基本特征或
要素.
(3)模型還應包括決定其原因和效果的各個要素之間的相互關系.
有了這樣的一個模型，人們就可以在模型內(nèi)實際處理一個系統(tǒng)的所有要素，并觀察它們的效果.
模型可以分為實物模型和抽象模型，抽象模型又可以分為模擬模型和數(shù)學模型.
與上述的各種各樣的模型相對應的是它們在現(xiàn)實世界中的原型.所謂原型，是指人們研究或從事生產(chǎn)、管理的實際對象，也就是系統(tǒng)科學中所說的實際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、社會經(jīng)濟系統(tǒng)等.
而模型則是指為了某個特定目的，將原型進行適當?shù)暮喕�、提煉而構造的一種原型替代物，它們不是原模型原封不動的復制品.原型有各個方面和各種層次的特征，模型則反映了與某種目的有關的那些方面和層次的特征.因此，對同一個原型，為了不同的目的，可以建立多種不同的模型.例如，作為玩具的飛機模型，在外形上與飛機形似，但不會飛；而參加航模競賽的模型飛機就必須能夠飛行，對外觀則不必苛求；對于供飛機設計、研制用的飛機數(shù)學模型，則主要是要反映飛機的飛行動態(tài)特征，而不涉及飛機的實體.
1.1.2數(shù)學模型
在現(xiàn)實世界實際問題的解決中，會遇到大量的數(shù)學問題，但是，它們往往并不是自然地以現(xiàn)成數(shù)學問題的形式出現(xiàn).首先，需要對要解決的實際問題進行分析研究，經(jīng)過簡化、提煉，歸結(jié)為一個能夠求解的數(shù)學問題，即建立該問題的數(shù)學模型.這是運用數(shù)學的理論與方法解決實際問題關鍵的第一步，然后，才能應用數(shù)學理論、方法進行分析和求解，進而為解決現(xiàn)實問題提供數(shù)量支持與指導.由此就顯現(xiàn)出數(shù)學建模的重要性.現(xiàn)實世界的問題往往比較復雜，在從事集中抽象出數(shù)學問題的過程中，必須抓住主要因素，忽略一些次要因素，做出必要的簡化，使抽象所得的數(shù)學問題能用適當?shù)姆椒ㄟM行求解.
以解決某個現(xiàn)實問題為目的，經(jīng)過分析簡化，從中抽象、歸結(jié)出來的數(shù)學問題就是該問題的數(shù)學模型.
具體來說就是指用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號組成的關系式、圖表、框圖等描述現(xiàn)實對象的數(shù)量特征及其內(nèi)在聯(lián)系的一種模型.這個過程稱為數(shù)學建模.
一般地，數(shù)學模型可以這樣來描述：對于現(xiàn)實世界的一個特定的對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結(jié)構.這里的特定對象，是指所要解決的某個具體問題;這里的特定目的，如分析、預測、控制、決策等；這里的數(shù)學工具指數(shù)學各分支的理論和方法及數(shù)學的某些軟件系統(tǒng)；這里的數(shù)學結(jié)構包括各種數(shù)學方程、表格、圖形等.
1.2數(shù)學模型的分類
數(shù)學模型的分類方法有多種，下面介紹常用的四種分類.
(1)按照建模所用的數(shù)學方法的不同，可分為：初等模型、運籌學模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計模型、控制論模型等.
(2)按照數(shù)學模型應用領域的不同，可分為：人口模型、交通模型、經(jīng)濟預測模型、金融模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型等。
(3)按照人們對建模機理了解程度的不同，可分為：
①白箱模型.主要指物理、力學等一些機理比較清楚的學科描述的現(xiàn)象以及相應的工程技術問題，這些方面的數(shù)學模型大多已經(jīng)建立起來，還需深入研究的主要是針對具體問題的特定目的進行修正與完善，或者是進行優(yōu)化設計與控制等.
�、诨蚁淠Ｐ�.主要指生態(tài)、經(jīng)濟等領域中遇到的模型，人們對其機理雖有所了解，但還不很清楚，故稱灰箱模型，在建立和改進模型方面還有不少工作要做。
�、酆谙淠Ｐ�.主要指生命科學、社會科學等領域中遇到的模型，人們對其機理知之甚少，甚至完全不清楚，故稱為黑箱模型.
在工程技術和現(xiàn)代化管理中，有時會遇到這樣一類問題：由于因素眾多、關系復雜，以及觀測困難等原因，人們也常常將它作為灰箱或黑箱模型問題來處理。應該指出的是，這三者之間并沒有嚴格的界限，而且隨著科學技術的發(fā)展，關系也是不斷變化的。
(4)按照模型的表現(xiàn)特性不同，可分為：
�、俅_定性模型與隨機性模型.前者不考慮隨機因素的影響，后者考慮了隨機因素的影響.
�、陟o態(tài)模型與動態(tài)模型.兩者的區(qū)別在于是否考慮時間因素引起的變化.
③離散模型與連續(xù)模型.兩者的區(qū)別在于描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量是離散的還是連續(xù)的.
1.3數(shù)學建模的原則
建立實際問題的數(shù)學模型，尤其是建立抽象程度較高的模型是一種創(chuàng)造性的勞動.我們不能期望找到一種一成不變的方法來建立各種實際問題的數(shù)學模型.現(xiàn)實世界中的實際問題是多種多樣的，而且大多比較復雜，所以數(shù)學建模的方法也是多種多樣的.但是，數(shù)學建模方法和過程也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學建模任務的完成.
因此，在建立數(shù)學模型時，應該遵照以下原則.
(1)要有足夠的精確度.就是要把本質(zhì)的性質(zhì)和關系反映進去，把非本質(zhì)的東西去掉，而又不影響反映現(xiàn)實的本質(zhì)的真實程度.
（2)模型既要精確，又要盡可能的簡單.因為太復雜的模型難以求解，而且如果一個簡單的模型已經(jīng)可以使某些實際問題得到滿意的解決，那就沒必要再建立一個復雜的模型.因為構造一個復雜的模型并求解它，往往要付出較高的代價.
(3)要盡量借鑒已有的標準形式的模型.
(4)構造模型的依據(jù)要充分.就是說要依據(jù)科學規(guī)律、經(jīng)濟規(guī)律來建立有關的公式和圖表，并要注意使用這些規(guī)律的條件.
1.4數(shù)學建模的方法
數(shù)學建模的方法按大類來分，大體上可分為三類.
1.4.1機理分析法
機理分析法就是根據(jù)人們對現(xiàn)實對象的了解和已有的知識、經(jīng)驗等，分析研究對象中各變量（因素）之間的因果關系，找出反映其內(nèi)部機理規(guī)律的一類方法.使用這種方法的前提是對研究對象的機理有一定的了解.
1.4.2測試分析法
當對研究對象的機理不清楚的時候，還可以把研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，對系統(tǒng)的輸入輸出進行觀測，并以這些實測數(shù)據(jù)為基礎進行統(tǒng)計分析來建立模型，這樣的一類方法稱為測試分析法.
1.4.3綜合分析法
對于某些實際問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來使用.例如，用機理分析法確定模型結(jié)構，再用測試分析法確定其中的參數(shù)，這類方法稱為綜合分析法.
1.5數(shù)學建模的步驟
1.5.1建模準備
通常，當遇到某個實際問題時，在開始階段對問題的理解往往不是很清楚，所以需要深入實際進行調(diào)查研究，收集與研究問題有關的信息、資料，與熟悉情況的有關人員進行討論，查閱有關的文獻資料，明確問題的背景和特征，由此初步確定它可能屬于哪一類模型等.總之，要做好建模前的準備工作，明確所要研究解決的問題和建模要達到的主要目的.
1.5.2分析簡化
對所研究的問題和收集的信息資料進行分析，弄清哪一些因素是主要的、起主導作用，哪一些因素是次要的，并根據(jù)建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即對實際問題作一些必要的簡化，用精確的語言做出必要的簡化假設.應該說這是一個十分困難的問題，也是建模過程中十分關鍵的一步，往往不可能一次完成，需要經(jīng)過多次反復試驗才能完成.
1.5.3模型建立
在前述工作的基礎上，根據(jù)所作的假設，分析研究對象的因果關系，用數(shù)學語言加以刻畫，就可得到所研究問題的數(shù)學描述，即構成所研究問題的數(shù)學模型.通常它是描述問題的主要因素的變量之間的一個關系式或其他的數(shù)學結(jié)構，在初步構成數(shù)學模型之后，一般還要進行必要的分析和化簡，使它達到便于求解的形式，并根據(jù)研究的目的，對它進行檢查，主要是看它能否代表研究的實際問題.
1.5.4模型求解
當現(xiàn)有的數(shù)學方法還不能很好解決所歸結(jié)的數(shù)學問題時，就需要針對數(shù)學模型的特點，對現(xiàn)有的方法進行改進或提出新的方法以適應需要。
1.5.5模型的評價與改進
數(shù)學模型總是在不斷地分析、檢驗和評價中，不斷地進行改進和完善的.數(shù)學模型是否便于求解也是評價模型優(yōu)劣的一個重要標準.當然，建模的目的是為了解決實際問題，所以評價模型優(yōu)劣最重要的標準是模型及其解能否反映現(xiàn)實問題、滿足解決實際問題的需要。
1.5.6模型應用
模型應用就是把經(jīng)過多次反復改進的模型及其解應用于實際系統(tǒng)，看能否達到預期的目的.若不夠滿意，則建模任務仍未完成，需要繼續(xù)努力（圖1.5.1)。
6.模型應用3.模型構成
4.模型求解
圖1.5.1數(shù)學建模流程圖
應當強調(diào)的是，并不是所有的數(shù)學建模過程都要按上述步驟進行.上述步驟只是數(shù)學建模過程的一個大致的描述，實際建模時可以靈活應用。
1.6數(shù)學建模競賽簡介
1.6.1美國數(shù)學建模競賽
1985年由美國數(shù)學及應用協(xié)會（ConsortiumforMathematicsanditsApplications，COMAP)主辦、美國工業(yè)與應用數(shù)學學會（SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，SIAM)、美國運籌學會（OperationsResearchSocietyofAmerica，ORSA)和幾所大學支持的美國大學生數(shù)學建模競賽(MathematicalContestinModeling，MCM)第一-次舉辦，除美國之外，加拿大、中國、荷蘭和中國香港地區(qū)等地的學校也相繼參加.我國最早是在1989年由北京的三所大學組隊參加美國的MCM.競賽的目的在于鼓勵和訓練學生用數(shù)學方法解決實際問題，競賽題目均從有實際意義的課題中提煉而成，沒有預先設定的答案。
參加競賽的隊伍由三名在校大學生組成，配一名指導教師.競賽時從兩道題中任選一題，在指定的四天內(nèi)完成，可以參閱各種圖書資料，使用計算機及各種軟件但不得和其他人討論.提交的論文應包括問題的闡述、模型假設條件、問題分析、模型設計與討論（誤差、穩(wěn)定性、優(yōu)缺點），一般要有計算程序和結(jié)果。
……
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