外推是重要的加速收斂技術(shù), 其應(yīng)用遍及計(jì)算數(shù)學(xué)各個(gè)分支。有限元外推和分裂外推則是林群、呂濤開創(chuàng)的并行解多維問題的新技術(shù), 在國(guó)內(nèi)外頗有影響; 近年發(fā)展的基于區(qū)域分解的有限元分裂外推方法, 則是把區(qū)域分解算法和分裂外推算法結(jié)合, 成為并行解大型多維問題新技術(shù); 所謂τ外推則是多層網(wǎng)格法和外推結(jié)合; 基于內(nèi)估計(jì)的外推則是近年國(guó)外學(xué)者外推重要成果。這些內(nèi)容還散見文獻(xiàn), 本書將反映這方面國(guó)際前沿工作。
更多科學(xué)出版社服務(wù),請(qǐng)掃碼獲取。
《高精度解多維問題的外推法》取材新穎,算例翔實(shí),算法精度高,應(yīng)用前景廣泛,適合從事科學(xué)和工程計(jì)算的工程師、科研教學(xué)人員、碩士生、博士生及大學(xué)高年級(jí)學(xué)生閱讀。此外,《高精度解多維問題的外推法》的導(dǎo)論剖析了外推法與祖沖之盈、朒二率的算法關(guān)系,從而對(duì)失傳一千余年的《綴術(shù)》做了有說服力的探佚,故《高精度解多維問題的外推法》也可供中算史家、數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者參閱。
第1章Richardson外推與分裂外推的算法分析
本章闡述Richardson外推與分裂外推算法原理、遞推算法與后驗(yàn)誤差估計(jì)。本章取材主要是Joyce(1971)、鄧建中(1984)和呂濤等的專著(Liemetal,1995;呂濤等,1998)。
1.1多項(xiàng)式外推法
計(jì)算數(shù)學(xué)基本主題:對(duì)一個(gè)給定的連續(xù)問題(積分、積分方程、微分方程、積微方程等)先用網(wǎng)格步長(zhǎng)h將其離散為代數(shù)問題,再借助計(jì)算機(jī)求出近似解。近似解T(h)的精度依賴于步長(zhǎng)h,并且h越小,網(wǎng)格分割越細(xì),T(h)的精度越高,而計(jì)算量則越大。在許多情形下,精確解a0不僅連續(xù)依賴于h>0:
(1.1.1)
而且存在與h無關(guān)的常數(shù)a1,a2 ;p1,p2 ,
使成立漸近展開式
(1.1.2)
對(duì)于光滑問題,展開式(1.1.2)經(jīng)常是h的偶次冪;對(duì)于非光滑問題pi可能是分?jǐn)?shù),甚至出現(xiàn)形如h^pilnh的對(duì)數(shù)項(xiàng)。往后我們證明:含對(duì)數(shù)項(xiàng)的展開式也可以借助多項(xiàng)式外推法消去。