第1章模型試驗(yàn)相似理論
　　1.1相似的概念
　　在自然界中，從宏觀的天體到微觀的粒子，從無機(jī)界到有機(jī)界，從原生生物到人類，一般來說，都是由一定要素組成的系統(tǒng)，存在著某些具體的屬性和特征。各個(gè)系統(tǒng)的屬性和特征是客觀存在的，不依賴于人們的感性認(rèn)識(shí)而存在。在不同類型、不同層次的系統(tǒng)之間可能存在某些共有的物理、化學(xué)、幾何等具體屬性或特征。這些屬性和特征具有明確概念和意義，并可以進(jìn)行數(shù)值上的度量。對(duì)于兩個(gè)或兩個(gè)以上不同系統(tǒng)間存在著某些共有屬性或特征，并在數(shù)值上存在差異的現(xiàn)象，我們稱之為相似。相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學(xué)中，例如圖1.1.1中的兩個(gè)相似三角形，是指對(duì)應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣的圖形。
　　這兩個(gè)相似的三角形具有如下的性質(zhì)：各對(duì)應(yīng)線段（各邊長(zhǎng)、各垂線）的比例相等，各對(duì)應(yīng)角角度相等，即
　　aa′=bb′=cc′=hh′=CL
　　α1=α′1，α2=α′2，α3=α′3（1.1.1）
　　式中，CL為幾何相似常數(shù)。
　　有此同類性質(zhì)的還有相似的多邊形、圓、橢圓、立方體、長(zhǎng)方體、球等，而這相似現(xiàn)象均稱為幾何相似。推而廣之，有物理相似。在自然界的一切物質(zhì)體系中，存在著各種不同的物理變化過程，這些物理變化過程可以具體反映各種物理量（如時(shí)間、力、速度、加速度、位移、變形等）的變化。物理相似，是指不同物理體系的形態(tài)和某種變化過程的相似。通常所說的“相似”，有下面三種類型：
　�。�1）相似，或同類相似（similitude），即兩個(gè)物理體系在幾何形態(tài)上，保持所對(duì)應(yīng)的線性尺寸成比例，所對(duì)應(yīng)的夾角角度相等，同時(shí)具有同一物理變化過程，如圖1.1.1所示兩個(gè)相似三角形。
　�。�2）擬似，或異類相似（analogy），即兩個(gè)物理體系物理性質(zhì)不同，但它們的物理變化過程，遵循同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律或模式，如滲流場(chǎng)和電場(chǎng)，熱傳導(dǎo)和熱擴(kuò)散現(xiàn)象。
　�。�3）差似，或變態(tài)相似（affinity），即兩個(gè)物理體系在幾何形態(tài)上不相似，但有同一物理變化過程。
　　本書主要討論的是**種相似，即幾何形狀相似體系進(jìn)行的同一物理變化過程，這種體系中對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量之間具有固定的比數(shù)。如果我們找到這些體系中兩個(gè)物理現(xiàn)象的同名物理量之間的固定比數(shù)，就可以用其中的一個(gè)物理現(xiàn)象去模擬另外一個(gè)物理現(xiàn)象。這個(gè)固定比數(shù)可以用相似系數(shù)（也稱相似常數(shù)）、相似指標(biāo)及相似判據(jù)（相似準(zhǔn)數(shù)）三個(gè)概念來描述。
　�。�1）相似系數(shù)。在模型與原型中，任一物理變化過程的同名物理量都保持著固定的比例關(guān)系，這種現(xiàn)象稱為物理量相似；闡明這種比例關(guān)系的，叫做相似系數(shù)。在相似現(xiàn)象中，物理量相似的條件是相似系數(shù)為常數(shù)，因此，相似系數(shù)也叫相似常數(shù)。相似常數(shù)用C表示，同時(shí)右下角標(biāo)明物理量類型，如幾何尺寸L、正應(yīng)力σ、容重γ等，式（1.1.1）中CL即兩個(gè)相似三角形的幾何相似系數(shù)。
　�。�2）相似指標(biāo)。在模型與原型之間，若有關(guān)物理量的相似系數(shù)是互相制約的，則它們相互之間以某種形式保持著固有的關(guān)系，這種關(guān)系被稱為相似指標(biāo)，記為Ci。
　�。�3）相似判據(jù)。既然相似指標(biāo)是表示相似現(xiàn)象中各相似系數(shù)之間的關(guān)系，而相似系數(shù)代表了某個(gè)物理量之間所保持的比例關(guān)系，那么相似現(xiàn)象中各物理量之間應(yīng)具有的比例關(guān)系就可由相似指標(biāo)導(dǎo)出。這種比例關(guān)系是一個(gè)定數(shù)，稱為相似判據(jù)或相似準(zhǔn)數(shù)，通常寫成K=idem。
　　1.2相似理論
　　相似理論揭示了相似的物理現(xiàn)象之間存在的固有關(guān)系。人們可以根據(jù)該理論找出同名物理量之間的固定比數(shù)，并將該理論應(yīng)用在科學(xué)試驗(yàn)及工程技術(shù)實(shí)踐中。
　　本書討論的相似理論主要應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)力學(xué)中的水工模型試驗(yàn)。水工模型試驗(yàn)的任務(wù)是將作用在原型水工建筑物上的物理現(xiàn)象，在縮尺模型上重現(xiàn)，從模型上測(cè)出與原型相似的物理現(xiàn)象和數(shù)據(jù)，如應(yīng)力、位移等，再通過模型相似關(guān)系推算到原型，從而達(dá)到用模型試驗(yàn)來研究原型的目的，以校核或改進(jìn)設(shè)計(jì)方案。可見，相似理論是模型試驗(yàn)的基礎(chǔ)，模型試驗(yàn)是用來預(yù)演和測(cè)定工程中物理現(xiàn)象的手段。因此，在模型試驗(yàn)研究中，應(yīng)依照相似理論來進(jìn)行模型設(shè)計(jì)，以及建立工程與模型之間物理量的換算關(guān)系。
　　1.2.1相似**定理――相似現(xiàn)象的性質(zhì)
　　相似**定理可表述為：“彼此相似的現(xiàn)象，以相同文字符號(hào)的方程所描述的相似指標(biāo)為1，或相似判據(jù)為一不變量。”
　　相似指標(biāo)等于1或相似判據(jù)相等是現(xiàn)象相似的必要條件。相似指標(biāo)和相似判據(jù)所表達(dá)的意義是一致的，互相等價(jià)，僅表達(dá)式不同。
　　相似**定理是由法國(guó)科學(xué)院院士貝特朗（J.Bertrand）于1848年確定的，其實(shí)早在1686年，牛頓（Isaac Newton）就發(fā)現(xiàn)了**相似定理確定的相似現(xiàn)象的性質(zhì)。現(xiàn)以牛頓第二定律為例，說明相似指標(biāo)和相似判據(jù)的相互關(guān)系。
　　設(shè)兩個(gè)相似現(xiàn)象，它們的質(zhì)點(diǎn)所受的力F的大小等于其質(zhì)量M和其受力后產(chǎn)生的加速度a的乘積，質(zhì)點(diǎn)所受力的方向與加速度的方向相同，則對(duì)**個(gè)現(xiàn)象有
　　F1=M1a1（1.2.1）
　　對(duì)第二個(gè)對(duì)象有
　　F2=M2a2（1.2.2）
　　因?yàn)閮涩F(xiàn)象相似，各物理量之間有下列關(guān)系：
　　CF=F2F1，CM=M2M1，Ca=a2a1（1.2.3）
　　式中，CF、CM、Ca均為兩相似現(xiàn)象的同名物理量之比，即相似系數(shù)。
　　將式（1.2.3）代入式（1.2.2），得
　　CFF1=CMM1Caa1
　　CFCMCaF1=M1a1（1.2.4）
　　對(duì)比式（1.2.4）和式（1.2.1）可知，必須有下列關(guān)系才能成立：
　　CFCMCa=Ci=1（1.2.5）
　　式中，Ci為相似指標(biāo)（或稱相似指數(shù)），它是相似系數(shù)的特定關(guān)系式。
　　若將式（1.2.4）移項(xiàng)可得如下形式：
　　F1M1a1=CMCaCF=1Ci=1（1.2.6）
　　同理由式（1.2.2）可得
　　F2M2a2=1（1.2.7）
　　則
　　F1M1a1=F2M2a2=FMa=K=idem（1.2.8）
　　式中，K為各物理量之間的常數(shù)，稱為相似現(xiàn)象的“相似判據(jù)”或稱“相似不變量”，它是相似物理體系的物理量的特定組合關(guān)系式；idem表示同一個(gè)數(shù)的意思。
　　由式（1.2.8）可知，兩個(gè)相似現(xiàn)象中，它們對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)上的各物理量雖然是F1≠F2，m1≠m2，a1≠a2，但它們的組合量Fma的數(shù)值保持不變，這就是“兩物理量相似其相似指標(biāo)等于1”的等價(jià)條件�？傊�，以牛頓第二定律為例可得相似指標(biāo)和相似判據(jù)的關(guān)系如下：
　　牛頓第二定律F=Ma
　　相似系數(shù)CF=F2F1，CM=M2M1，Ca=a2a1
　　相似指標(biāo)CFCMCa=1
　　相似判據(jù)FMa=idem（1.2.9）
　　物理現(xiàn)象總是服從某一規(guī)律，這一規(guī)律可用相關(guān)物理量的數(shù)學(xué)方程式來表示。當(dāng)現(xiàn)象相似時(shí)，各物理量的相似常數(shù)之間應(yīng)該滿足相似指標(biāo)等于1的關(guān)系。應(yīng)用相似常數(shù)的轉(zhuǎn)換，由方程式轉(zhuǎn)換所得相似判據(jù)的數(shù)值必然相同，即無量綱的相似判據(jù)在所有相似系統(tǒng)中都是相同的。
　　1.2.2相似第二定理――相似判據(jù)的確定
　　相似第二定理，又稱為π定理，可表述為：“表示一現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系方程式，都可換算成無量綱的相似判據(jù)方程式�！�
　　這樣，在彼此相似的現(xiàn)象中，其相似判據(jù)可不必用相似常數(shù)導(dǎo)出，只要將各物理量之間的方程式轉(zhuǎn)換成無量綱方程式的形式，其方程式的各項(xiàng)就是相似判據(jù)。例如，一條截面直桿，兩端受有一偏心距為L(zhǎng)的軸向力F，則其外側(cè)面的**應(yīng)力σ可表示為
　　σ=FA+FLW（1.2.10）
　　式中，A為桿的截面積；W為抗彎截面模量。
　　用σ除式（1.2.10）兩端得
　　1=FσA+FLWσ（1.2.11）
　　式（1.2.11）即為無量綱方程式，其中FσA、FLWσ就是相似判據(jù)。
　　若有兩個(gè)這種類型的相似現(xiàn)象，則它們的無量綱式分別如下：對(duì)**個(gè)現(xiàn)象
　　F1σ1A1+F1L1W1σ1=1（1.2.12a）
　　對(duì)第二個(gè)現(xiàn)象
　　F2σ2A2+F2L2W2σ2=1（1.2.12b）
　　因?yàn)閮涩F(xiàn)象相似，各物理量之間的相似關(guān)系式為
　　F2=CFF1，A2=CAA1，L2=CLL1，σ2=Cσσ1，W2=CWW1
　　將上述關(guān)系代入式（1.2.12b）得
　　CFCσCA？F1σ1A1+CFCLCσCW？F1L1W1σ1=1（1.2.12c）
　　對(duì)比式（1.2.12a）和式（1.2.12c）可知，要使兩現(xiàn)象相似，則必須滿足下列條件：
　　C1=CFCσCA=1
　　C2=CFCLCσCW=1（1.2.12d）
　　根據(jù)相似的**定律可知，C1、C2都是彼此相似現(xiàn)象的相似指標(biāo)，將各物理量及相似關(guān)系各代入式（1.2.12d）得
　　F2F1÷σ2σ1？A2A1=1（1.2.13）
　　即
　　F2σ2A2=F1σ1A1=FσA=K1=idem（1.2.14）
　　又
　　F2L2F1L1÷σ2W2σ1W1=1（1.2.15）
　　即
　　F2L2σ2W2=F1L1σ1W1=FLσW=K2=idem（1.2.16）
　　由上式可看出，無量綱方程中的各項(xiàng)就是相似判據(jù)。
　　如果用偏微分方程描述現(xiàn)象，則相似第二定理可將偏微分方程無量綱化，從而將有量綱的偏微分方程變換為無量綱的常微分方程，使之易于求解，這種方法被廣泛用于數(shù)學(xué)方程式的理論分析中。常用π定理將各物理量之間的方程式轉(zhuǎn)換成無量綱方程式的形式，之后將在1.3節(jié)詳細(xì)介紹其應(yīng)用。
　　1.2.3相似第三定理――相似現(xiàn)象的必要和充分條件
　　相似**定理闡述了相似現(xiàn)象的性質(zhì)及各物理量之間存在的相似關(guān)系，相似第二定理證明了描述物理過程的方程經(jīng)過轉(zhuǎn)換后可由無量綱數(shù)群的關(guān)系式表示，相似現(xiàn)象的方程形式應(yīng)相同，其無量綱數(shù)也應(yīng)相同。**、第二定理是在把物理相似作為已知條件的基礎(chǔ)上，說明相似現(xiàn)象的性質(zhì)，故稱為相似正定理，是物理相似的必要條件。但如何判別兩現(xiàn)象是否相似呢？1930年蘇聯(lián)科學(xué)家M.B.基爾皮契夫和A.A.古赫曼提出的相似第三定理補(bǔ)充了前面兩個(gè)定理，是相似理論的逆定理。提出了判別物理相似的充分條件：“在幾何相似系統(tǒng)中，具有相同文字符號(hào)的關(guān)系方程式，單值條件相似，且由單值條件組成的相似準(zhǔn)數(shù)相等，則兩物理現(xiàn)象是相似的。”簡(jiǎn)單地說，現(xiàn)象的單值量相似，則兩物理現(xiàn)象相似。
　　單值條件是指從一群現(xiàn)象中把某一具體現(xiàn)象從中區(qū)分處理的條件，單值條件相似應(yīng)包括：幾何相似、物理相似、邊界條件相似、力學(xué)相似、初始條件相似。所謂單值量，是指單值條件中所包含的各物理量，如力學(xué)現(xiàn)象中的尺寸、彈性模量、面積力、體積力等。因此，各單值量相似，當(dāng)然包括各單值量的單值條件也就相似，則兩現(xiàn)象自然相似。
　　綜上所述，用以判斷相似現(xiàn)象的是相似判據(jù)，它描述了相似現(xiàn)象的一般規(guī)律。所以，在進(jìn)行模型試驗(yàn)之前，應(yīng)先求得被研究對(duì)象的相似判據(jù)，然后按照相似判據(jù)確定的相似關(guān)系開展模型設(shè)計(jì)、試驗(yàn)測(cè)試和數(shù)據(jù)整理等工作。
　　1.2.4相似條件
　　不同的物理體系有著不同的變化過程，物理過程可用一定的物理量來描述。物理體系的相似是指在兩個(gè)幾何相似的物理體系中，進(jìn)行著同一物理性質(zhì)的變化過程，并且各體系中對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量之間存在固定的相似常數(shù)。
　　兩個(gè)相似的物理體系之間一般存在以下5個(gè)方面的相似條件：幾何相似、物理相似、力學(xué)相似、邊界條件相似及初始條件相似。
　　1.幾何相似
　　幾何相似是指原型和模型的外形相似，對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)成比例、對(duì)應(yīng)角角度相等，如圖1.2.1重力壩原型和模型剖面圖所示。
　�。╝）原型剖面圖
　�。╞）模型剖面圖
　　圖1.2.1重力壩原型和模型剖面圖
　　兩個(gè)重力壩剖面相似，則有
　　HpHm=BpBm=hphm=CL，θpθm=Cθ（1.2.17）
　　兩個(gè)幾何相似的體系就是同一幾何體系通過不同的比例放大或縮小而得，常見的相似常數(shù)有
　　CL=LpLm
　　Cθ=θpθm（1.2.18）
　　式中，Lp、Lm分別為原型、模型中某一線段的長(zhǎng)度；θp、θm分別為原型、模型中兩條邊的夾角；CL、Cθ分別為幾何相似常數(shù)和幾何比尺；下標(biāo)p表示原型，m表示模型（