六、 錯釣的大魚
　　在黎曼的論文發(fā)表之后的最初二三十年時間里，他所開辟的這一領(lǐng)域顯得十分冷清，沒有出現(xiàn)任何重大進展。如果把黎曼論文的全部內(nèi)涵比作山峰的話，那么在最初這二三十年時間里，數(shù)學(xué)家們還只在從山腳往半山腰攀登的路上，只顧著星夜兼程、埋頭趕路。那高聳入云的山巔還籠罩在一片濃濃的霧靄之中，正所謂高處不勝寒。但到了1885年，在這場沉悶的登山之旅中卻爆出了一段驚人的插曲:有人忽然聲稱自己已經(jīng)登頂歸來！
　　這個人叫做斯蒂爾切斯（ThomasStieltjes，1856—1894），是一位荷蘭數(shù)學(xué)家。1885年，這位當(dāng)時年方29歲的年輕數(shù)學(xué)家在巴黎科學(xué)院發(fā)表了一份簡報，聲稱自己證明了以下結(jié)果:
　　M(N)≡∑n
　　這里的μ(n)是我們在第4章末尾提到過的默比烏斯函數(shù)，由它的求和所給出的函數(shù)M(N)被稱為梅爾滕斯函數(shù)（Mertensfunction）。這個命題看上去倒是“面善”得很:默比烏斯函數(shù)μ(n)不過是一個整數(shù)函數(shù)，其定義雖有些瑣碎，卻也并不復(fù)雜，而梅爾滕斯函數(shù)M(N)不過是對μ(n)的求和，證明它按照O(N1/2)增長似乎不像是一件太困難的事情。但這個其貌不揚的命題事實上卻是一個比黎曼猜想更強的結(jié)果！換句話說，證明了上述命題就等于證明了黎曼猜想（但反過來則不然，否證了上述命題并不等于否證了黎曼猜想）。因此斯蒂爾切斯的簡報意味著聲稱自己證明了黎曼猜想。
　　雖然當(dāng)時黎曼猜想還遠沒有像今天這么熱門，消息傳得也遠沒有像今天這么飛快，但有人證明了黎曼猜想仍是一個非同小可的消息。別的不說，證明了黎曼猜想就意味著證明了素數(shù)定理，而后者自高斯等人提出以來折磨數(shù)學(xué)家們已近一個世紀(jì)之久，卻仍未得到證明。與在巴黎科學(xué)院發(fā)表簡報幾乎同時，斯蒂爾切斯給當(dāng)時法國數(shù)學(xué)界的一位重量級人物埃爾米特（CharlesHermite，1822—1901）發(fā)去了一封信件，重復(fù)了這一聲明。但無論在簡報還是在信件中斯蒂爾切斯都沒有給出證明，他說自己的證明太復(fù)雜，需要簡化。
　　換作是在今天，一位年輕數(shù)學(xué)家開出這樣一張空頭支票，是很難引起數(shù)學(xué)界的任何反響的。但是19世紀(jì)的情況有所不同，因為當(dāng)時學(xué)術(shù)界常有科學(xué)家做出成果卻不公布（或只公布一個結(jié)果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂爾切斯那樣聲稱自己證明了黎曼猜想，卻不給出具體證明，在當(dāng)時并不算離奇。學(xué)術(shù)界對之的反應(yīng)多少有點像現(xiàn)代西方法庭所奉行的無罪推定原則，即在出現(xiàn)相反證據(jù)之前傾向于相信聲明成立。
　　但相信歸相信，數(shù)學(xué)當(dāng)然是離不開證明的，而一個證明要想得到最終的承認(rèn)，就必須公布細節(jié)、接受檢驗。因此大家就期待著斯蒂爾切斯發(fā)表具體的證明，其中期待得最誠心實意的當(dāng)屬接到斯蒂爾切斯來信的埃爾米特。埃爾米特自1882年起就與斯蒂爾切斯保持著通信關(guān)系，直至12年后斯蒂爾切斯過早地去世為止。在這期間兩人共交換過432封信件。埃爾米特是當(dāng)時復(fù)變函數(shù)論的大家之一，他與斯蒂爾切斯的關(guān)系堪稱數(shù)學(xué)史上一個比較奇特的現(xiàn)象。斯蒂爾切斯剛與埃爾米特通信時還只是萊頓天文臺（LeidenObservatory）的一名助理，而且就連這個助理的職位還是靠了他父親（斯蒂爾切斯的父親是荷蘭著名的工程師兼國會成員）的關(guān)照才獲得的。在此之前他在大學(xué)里曾三度考試失敗。好不容易“拉關(guān)系、走后門”進了天文臺，斯蒂爾切斯卻“身在曹營心在漢”，手上干著天文觀測的活，心里惦記的卻是數(shù)學(xué)，并且給埃爾米特寫了信。照說當(dāng)時一無學(xué)位、二無名聲的斯蒂爾切斯要引起像埃爾米特那樣的數(shù)學(xué)元老的重視是不容易，甚至不太可能的。但埃爾米特是一位虔誠的天主教徒，他恰巧對數(shù)學(xué)懷有一種奇特的信仰，他相信數(shù)學(xué)存在是一種超自然的東西，尋常的數(shù)學(xué)家只是偶爾才有機會了解數(shù)學(xué)的奧秘。那么，什么樣的人能比“尋常的數(shù)學(xué)家”更有機會了解數(shù)學(xué)的奧秘呢？埃爾米特憑著自己的神秘主義眼光找到了一位，那就是默默無聞的觀星之人斯蒂爾切斯。埃爾米特認(rèn)為斯蒂爾切斯具有上帝所賜予的窺視數(shù)學(xué)奧秘的眼光，他對之充滿了信任。在他與斯蒂爾切斯的通信中甚至出現(xiàn)過“你總是對的，我總是錯的”那樣極端的贊許。在這種奇特信仰與19世紀(jì)數(shù)學(xué)氛圍的共同影響下，埃爾米特對斯蒂爾切斯的聲明深信不疑。
　　但無論埃爾米特如何催促，斯蒂爾切斯始終沒有公布他的完整證明。一轉(zhuǎn)眼5年過去了，埃爾米特對斯蒂爾切斯依然“癡心不改”，他決定向?qū)Ψ健罢T之以利”。在埃爾米特的提議下，法國科學(xué)院將1890年數(shù)學(xué)大獎的主題設(shè)為“確定小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”。這個主題讀者們想必有似曾相識的感覺，是的，它跟我們前面剛剛介紹過的黎曼那篇論文的題目十分相似。事實上，該次大獎的目的就是征集對黎曼那篇論文中提及過卻未予證明的某些命題的證明（這一點明確寫入了征稿要求之中）。至于那命題本身，則既可以是黎曼猜想，也可以是其他命題，只要其證明有助于“確定小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”即可。在如此靈活的要求下，不僅證明黎曼猜想可以獲獎，就是證明比黎曼猜想弱得多的結(jié)果——比如素數(shù)定理——也可以獲獎。在埃爾米特看來，這個數(shù)學(xué)大獎將毫無懸念地落到斯蒂爾切斯的腰包里，因為即便斯蒂爾切斯對黎曼猜想的證明仍然“太復(fù)雜，需要簡化”，他依然能通過發(fā)表部分結(jié)果或較弱的結(jié)果而領(lǐng)取大獎。
　　可惜直至大獎截止日期終了，斯蒂爾切斯依然毫無動靜。
　　但埃爾米特也并未完全失望，因為他的學(xué)生阿達馬提交了一篇論文，領(lǐng)走了大獎——肥水總算沒有流入外人田。阿達馬獲獎?wù)撐牡闹饕獌?nèi)容正是我們在第5章中提到過的對黎曼論文中輔助函數(shù)ξ(s)的連乘積表達式的證明。這一證明雖然不僅不能證明黎曼猜想，甚至離素數(shù)定理的證明也還有一段距離，卻仍是一個足可獲得大獎的進展。幾年之后，阿達馬再接再厲，終于一舉證明了素數(shù)定理。埃爾米特放出去的這根長線雖未能如愿釣到斯蒂爾切斯和黎曼猜想，卻錯釣上了阿達馬和素數(shù)定理，斬獲亦是頗為豐厚（素數(shù)定理的證明在當(dāng)時其實比黎曼猜想的證明更令數(shù)學(xué)界期待）。
　　那么斯蒂爾切斯呢？沒聽過這個名字的讀者可能會覺得他是一個浮夸無為的家伙，事實卻不然。斯蒂爾切斯在分析與數(shù)論的許多方面都做出過重要貢獻。他在連分?jǐn)?shù)方面的研究為他贏得了“連分?jǐn)?shù)分析之父”的美譽；掛著他名字的黎曼·斯蒂爾切斯積分（Riemann·Stieltjesintegral）更是將他與黎曼的大名聯(lián)系在了一起（不過兩人之間并無實際聯(lián)系——黎曼去世時斯蒂爾切斯才10歲）。但他那份哈代明信片式的有關(guān)黎曼猜想的聲明卻終究沒能為他贏得永久的懸念。現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為斯蒂爾切斯所宣稱的關(guān)于M(N)=O(N1/2)的證明即便有也是錯誤的。不僅如此，就連命題M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越來越多的懷疑。這是因為比M（N）=O（N1/2）稍強、被稱為梅爾滕斯猜想（Mertensconjecture）的命題： M（N）
　　三十、 監(jiān)獄來信
　　在前面各章中，我們介紹了數(shù)學(xué)家們在證明黎曼猜想的漫長征途上所做過的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數(shù)值計算，它們雖然永遠也不可能證明黎曼猜想，卻有可能通過發(fā)現(xiàn)反例而否證黎曼猜想——當(dāng)然，迄今為止并未有人發(fā)現(xiàn)反例；有些則是解析研究，它們具有證明黎曼猜想的潛力，但迄今為止距離目標(biāo)還很遙遠。如果小結(jié)一下的話，那么這兩類嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因為它們的目標(biāo)都是黎曼猜想本身。
　　既然這兩類直接手段都遇到了困難，那我們不妨來問這樣一個問題:除這些直接手段外，還有沒有別的手段可以幫我們研究黎曼猜想，或至少帶給我們一些啟示呢？
　　答案是肯定的。
　　事實上，黎曼猜想雖然是一個極為艱深的難題，但這種長時間無法解決的難題在科學(xué)上是并不鮮見的�？茖W(xué)家們對付這種難題的大思路其實很簡單，那就是直接手段行不通時，就采用間接手段。當(dāng)然，大思路雖然簡單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來說，常用的間接手段有兩類:第一類是研究與原問題相等價的問題——那樣的問題一旦被解決，原問題自然也就解決了；除了研究等價問題外，人們有時還會研究比原問題更普遍的問題。有讀者可能會問：那樣的問題難道不應(yīng)該與原問題同樣困難、甚至更困難嗎？是的，一般來說，與一個難題相等價或更普遍的問題本身也不太可能是省油的燈。但是，解決難題往往需要靈感，而不同的問題（哪怕是等價的問題）所能激發(fā)的靈感是不同的，因此研究那樣的問題有時能起到意想不到的作用。第二類則是研究與原問題相類似、但卻更簡單的問題——這類手段雖不能解決原問題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問題實在太艱深時，這類手段往往比其他手段更具可行性。
　　就目前我們對黎曼猜想的了解而言，它看來是屬于那種“原問題實在太艱深”的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二類間接手段。這類手段在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。比如物理學(xué)家們遇到很困難的三維空間中的問題時，往往轉(zhuǎn)而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問題相類似的問題。又比如生物學(xué)家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時，往往轉(zhuǎn)而用動物作為研究對象。最近比較熱門的用凝聚態(tài)體系模擬基礎(chǔ)問題的做法，也是第二類間接手段的例子。這方面的一個例子，是利用石墨烯（graphene）中的電子運動與相對論量子力學(xué)中無質(zhì)量粒子運動的類似性，來研究后者。此外，2009年受到過一些媒體關(guān)注的用特定流體中的聲子運動來模擬黑洞附近的光子行為的所謂“聲學(xué)黑洞”（sonicblackhole）研究也是一個例子。這類手段通俗地講，其實就是研究“山寨版”的問題。只不過與經(jīng)濟領(lǐng)域中的“山寨版”產(chǎn)品被四處喊打不同，科學(xué)領(lǐng)域中的“山寨版”問題不僅不違規(guī)，對它們的研究還廣受鼓勵。有時候，在“山寨版”問題上的突破，甚至能成為重大的科學(xué)成就，并獲得重大的科學(xué)獎項。黎曼猜想就是一個很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“雞犬升天”，變成了非同小可的問題，研究或解決它的數(shù)學(xué)家甚至可以獲得數(shù)學(xué)界的最高獎，堪稱是史上最牛的“山寨版”。需要補充說明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不僅僅來自“正版”黎曼猜想的艱深與重要，它本身以及它與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)也有著不容忽視的重要性。
　　為了介紹這種史上最牛的“山寨版”，讓我們把時光暫時拉回到1940年。
　　1940年4月，著名的法國幾何學(xué)家埃里·嘉當(dāng)（·lieCartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國海濱城市魯昂（Rouen）的一座軍事監(jiān)獄。
　　一位著名數(shù)學(xué)家居然收到一封來自監(jiān)獄的信件，那會是什么樣的信件呢？照常理來說，最大的可能性是某位民間“科學(xué)家”（簡稱民科）的杰作，對于法國數(shù)學(xué)家，情況尤其如此。因為在這方面，法國科學(xué)院（FrenchAcademy ofSciences）可謂是開了風(fēng)氣之先——自從一個多世紀(jì)前它為費馬大定理懸賞以來，民科信件便如雪片般地飛向了法國數(shù)學(xué)家的手里。那熱情，就連一百多年的時光也不足以使之熄滅。自那以后，知名法國數(shù)學(xué)家收到民科來信就不再是新鮮事了。不過嘉當(dāng)收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間”，筆跡卻頗為熟悉，因為那筆跡屬于一位真正的數(shù)學(xué)家。那數(shù)學(xué)家不僅嘉當(dāng)認(rèn)識，更是他那數(shù)學(xué)家兒子昂利·嘉當(dāng)（HenriCartan，1904—2008）的好朋友。那位數(shù)學(xué)家叫做韋伊（AndréWeil，1906—1998），他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在嘉當(dāng)手里的這封監(jiān)獄來信來揭開序幕，但當(dāng)時的他就已在代數(shù)、分析、數(shù)論等諸多領(lǐng)域中享有了一定的聲譽。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數(shù)學(xué)家（其中包括昂利·嘉當(dāng)）一同，創(chuàng)立了一個后來大名鼎鼎的數(shù)學(xué)學(xué)派——布爾巴基學(xué)派。
　　嘉當(dāng)對筆跡的細心留意使那封監(jiān)獄來信免遭了被棄之垃圾桶的命運，也為我們的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。
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