目錄
前言
第1篇常微分方程數(shù)值解
引言3
第1章常微分方程初值問(wèn)題的理論基礎(chǔ)4
第2章常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1顯式Euler法5
2.1.2隱式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的構(gòu)造12
2.4單步法的收斂性與相容性17
2.4.1單步法的收斂性17
2.4.2單步法的相容性18
2.5一般線(xiàn)性多步法19
2.5.1顯式Adams方法(外插法)19
2.5.2隱式Adams方法(內(nèi)插法)20
2.6一般線(xiàn)性多步法的收斂性和穩(wěn)定性22
2.6.1線(xiàn)性差分方程的基本性質(zhì)22
2.6.2一般線(xiàn)性多步法的收斂性和穩(wěn)定性24
第2篇偏微分方程數(shù)值解
第3章基本理論及概念31
3.1偏微分方程定解問(wèn)題31
3.2差分方程31
3.2.1定解區(qū)域的離散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3顯式格式與隱式格式34
3.3截?cái)嗾`差和收斂性35
3.3.1截?cái)嗾`差的概念35
3.2.2推導(dǎo)截?cái)嗾`差的方法36
3.3.3差分格式的收斂性37
3.3.4差分格式的穩(wěn)定性38
3.4差分格式的構(gòu)造方法38
3.4.1數(shù)值微分法38
3.4.2積分插值法39
3.4.3待定系數(shù)法40
第4章橢圓型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet邊值問(wèn)題43
4.2五點(diǎn)差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)48
4.2.5差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性50
4.2.6數(shù)值計(jì)算與Matlab模擬51
4.3緊差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性58
第5章拋物型方程的差分方法60
5.1一維線(xiàn)性?huà)佄锓匠?0
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)63
5.2.5差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)66
5.3.4差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不穩(wěn)定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)72
5.5.4差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性72
5.6數(shù)值模擬73
第6章雙曲型方程的有限差分方法75
6.1 波動(dòng)方程75
6.2顯式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性81
6.3隱式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性86
6.4數(shù)值模擬87
6.5一階雙曲方程89
6.5.1迎風(fēng)格式89
6.5.2積分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4數(shù)值模擬93
第7章譜方法96
7.1Fourier譜方法96
7.1.1指數(shù)正交多項(xiàng)式96
7.1.2一階波動(dòng)方程的Fourier譜方法97
7.2Chebyshev譜方法98
7.2.1Chebyshev多項(xiàng)式98
7.2.2Gauss型積分的節(jié)點(diǎn)和權(quán)函數(shù)99
7.2.3數(shù)值分析100
7.2.4數(shù)值模擬101
7.2.5熱傳導(dǎo)方程的應(yīng)用103
第8章有限元方法107
8.1邊值問(wèn)題的變分形式107
8.1.1Sobolev空間Hm(I)107
8.1.2a(u,v)基本性質(zhì)110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法構(gòu)造114
8.3線(xiàn)性有限元法的誤差估計(jì)117
8.3.1H1估計(jì)117
8.3.2L2估計(jì)118
8.4二次元119
8.4.1單元插值函數(shù)120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5橢圓型方程邊值問(wèn)題的有限元法123
8.5.1變分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6拋物型方程初邊值問(wèn)題的有限元法128
第3篇分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解
引言135
第9章分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)概念及算法136
9.1分?jǐn)?shù)階微積分定義及其相互關(guān)系136
9.2Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階微積分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的D算法140
9.4Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階積分的R算法141
9.5分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的L算法143
9.6分?jǐn)?shù)階差商逼近的一般通式144
9.7經(jīng)典整數(shù)階數(shù)值微分、積分公式的推廣146
9.7.1經(jīng)典向后差商及中心差商格式的推廣146
9.7.2插值型數(shù)值積分公式的推廣148
9.7.3經(jīng)典線(xiàn)性多步法的推廣(Lubich分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性多步法)148
第10章分?jǐn)?shù)階常微分方程數(shù)值解方法152
10.1直接法153
10.2間接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分?jǐn)?shù)階預(yù)估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4誤差分析159
第11章分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解解法161
11.1空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程161
11.2時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2穩(wěn)定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3誤差分析166
11.3時(shí)間—空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2穩(wěn)定性及收斂性分析170
參考文獻(xiàn)173