本書主要介紹了處理反問題(不適定問題)的統(tǒng)計方法，尤其側(cè)重于建模與計算這兩大問題。與經(jīng)典文獻中處理反問題的方法不同，本書立足于Bayes統(tǒng)計學的框架，將所有變量都視作隨機變量，并把反問題的解以概率密度函數(shù)的形式給出。同時，對于數(shù)學模型本身存在的誤差和數(shù)值離散導致的額外誤差，本書還創(chuàng)造性地進行了源自建模誤差的統(tǒng)計分析。《BR》 本書詳細討論了先驗?zāi)Ｐ偷臉?gòu)造、測量噪聲建模、Bayes估值以及非靜態(tài)統(tǒng)計反演方法等，并引入Markov鏈MonteCarlo方法以及**化方法來探究概率分布。另外從Bayes統(tǒng)計學的角度重新研究了經(jīng)典正則化方法，揭示了兩者之間的關(guān)系。對于書中得到的結(jié)論和涉及的技法，作者還佐以易懂但深刻的例子幫助讀者理解。本書將統(tǒng)計方法應(yīng)用到一些較為前沿的問題中，例如離散誤差分析、模型降階等。在書中，這些統(tǒng)計方法還被進一步應(yīng)用于一系列實際問題中，包括有限角度斷層成像、圖像去模糊、電阻抗斷層成像、生物磁學反問題等。
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目錄
第1章 反問題與對測量的詮釋 1
1.1 介紹性示例 2
1.2 反演過失 4
第2章 經(jīng)典正則化方法 5
2.1 緒論：Fredholm方程 5
2.2 截斷奇異值分解 8
2.3 Tikhonov正則化 13
2.3.1 Tikhonov正則化的推廣 21
2.4 正則化的迭代方法 23
2.4.1 Landweber-Fridman迭代 23
2.4.2 Kaczmarz迭代與ART 27
2.4.3 Krylov子空間法 35
2.5 注釋與評論 42
第3章 統(tǒng)計反演理論 43
3.1 反問題與Bayes公式 43
3.1.1 估計量 45
3.2 似然函數(shù)的構(gòu)造 48
3.2.1 加性噪聲 48
3.2.2 其他顯式噪聲模型 51
3.2.3 計數(shù)過程數(shù)據(jù) 52
3.3 先驗?zāi)Ｐ?54
3.3.1 Gauss先驗函數(shù) 54
3.3.2 脈沖先驗密度函數(shù) 55
3.3.3 不連續(xù)性 57
3.3.4 Markov隨機場 58
3.3.5 基于樣本的密度函數(shù) 61
3.4 Gauss密度函數(shù) 63
3.4.1 Gauss光滑化先驗函數(shù) 70
3.5 對后驗函數(shù)的詮釋 79
3.6 Markov鏈Monte Carlo方法 80
3.6.1 基本思想 80
3.6.2 核的Metropolis-Hastings構(gòu)造 83
3.6.3 Gibbs采樣器 88
3.6.4 收斂性 94
3.7 層次模型 95
3.8 注釋與評論 99
第4章 非穩(wěn)態(tài)反問題 101
4.1 Bayes濾波 101
4.1.1 一個非穩(wěn)態(tài)反問題 101
4.1.2 發(fā)展-觀測模型 104
4.2 Kalman濾波器 108
4.2.1 線性Gauss型問題 108
4.2.2 擴展Kalman濾波器 111
4.3 粒子濾波器 114
4.4 空間先驗函數(shù) 117
4.5 固定滯后和固定區(qū)間平滑化 121
4.6 高階Markov模型 123
4.7 注釋與評論 126
第5章 再議經(jīng)典方法 127
5.1 估值理論 127
5.1.1 最大似然估計 128
5.1.2 Bayes成本誘導的估計量 128
5.1.3 帶仿射估計量的估值誤差 130
5.2 測試例 131
5.2.1 先驗函數(shù) 132
5.2.2 觀測算子 135
5.2.3 加性噪聲模型 136
5.2.4 測試問題 137
5.3 基于樣本的誤差分析 138
5.4 截斷奇異值分解 139
5.5 共軛梯度迭代 145
5.6 Tikhonov正則化 146
5.6.1 先驗結(jié)構(gòu)與正則化水平 147
5.6.2 Gauss觀測誤差模型的誤設(shè) 149
5.6.3 加性Cauchy誤差 151
5.7 離散化與先驗?zāi)Ｐ?153
5.8 統(tǒng)計模型降階、近似誤差與反演過失 158
5.8.1 例子：全角斷層成像與CGNE 160
5.9 注釋與評論 163
第6章 模型問題 165
6.1 X射線斷層成像 165
6.1.1 Radon變換 166
6.1.2 離散模型 168
6.2 反源問題 169
6.2.1 準靜態(tài)Maxwell方程組 170
6.2.2 電學反源問題 172
6.2.3 磁學反源問題 173
6.3 電阻抗斷層成像 176
6.4 光學斷層成像 181
6.4.1 輻射轉(zhuǎn)移方程 182
6.4.2 擴散近似 184
6.4.3 時諧測量 191
6.5 注釋與評論 191
第7章 實例研究 193
7.1 圖像去模糊與異常的重構(gòu) 193
7.1.1 模型問題 193
7.1.2 降階模型與近似誤差模型 195
7.1.3 后驗函數(shù)的取樣 198
7.1.4 模擬誤差的影響 203
7.2 有限角斷層成像：牙科X射線成像 206
7.2.1 層估計 207
7.2.2 MAP估計 208
7.2.3 取樣：Gibbs采樣器 209
7.3 生物磁學反問題：源定位 210
7.3.1 使用Gauss白噪聲先驗?zāi)Ｐ偷闹貥?gòu) 211
7.3.2 使用e1-先驗?zāi)Ｐ偷呐紭O子強度重構(gòu) 213
7.4 基于Bayes濾波的動態(tài)MEG 217
7.4.1 單偶極子模型 217
7.4.2 更現(xiàn)實的幾何構(gòu)形 220
7.4.3 多偶極子模型 221
7.5 電阻抗斷層成像：最優(yōu)電流模式 225
7.5.1 后驗合成電流模式 225
7.5.2 最優(yōu)準則 227
7.5.3 數(shù)值算例 230
7.6 電阻抗斷層成像：近似誤差的處理 233
7.6.1 網(wǎng)格與投影 233
7.6.2 先驗函數(shù)與先驗?zāi)Ｐ?235
7.6.3 誤差增強模型 236
7.6.4 MAP估計 238
7.7 電阻抗過程斷層成像 242
7.7.1 發(fā)展模型 243
7.7.2 觀測模型與計算格式 245
7.7.3 同定滯后狀態(tài)估計 247
7.7.4 流剖面的估值 249
7.8 各向異性介質(zhì)中的光學斷層成像 252
7.8.1 各向異性模型 253
7.8.2 線性化模型 256
7.9 光學斷層成像：邊界重構(gòu) 259
7.9.1 一般橢圓情形 259
7.9.2 在光學擴散斷層成像中的應(yīng)用 262
7.10 注釋與評論 264
附錄A 線性代數(shù)與泛函分析 268
A.1 線性代數(shù) 268
A.2 泛函分析 271
A.3 Sobolev空間 272
附錄B 概率論基礎(chǔ) 276
B.1 基本概念 276
B.2 條件概率 280
索引 284
參考文獻 288
《現(xiàn)代數(shù)學譯叢》己出版書目 296
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