本書共分五章,較全面系統(tǒng)地介紹了矩陣的基本理論、方法和典型應(yīng)用。第1、2章是線性代 數(shù)的基礎(chǔ)理論,主要介紹線性空間與內(nèi)積空間、線性映射與線性變換、矩陣與特征值等基本概念和性質(zhì)。第3章矩陣分解,主要介紹九種典型的矩陣分解,這些內(nèi)容是矩陣理論研究、計算及其應(yīng)用中不可缺少的工具和手段。第4章矩陣分析,介紹了向量范數(shù)與矩陣范數(shù)、矩陣冪級數(shù)、矩陣函數(shù)及其應(yīng)用等。第5章廣義逆矩陣,介紹常用的四種廣義逆及其在解線性方程組等方面的應(yīng)用。
本書為北京航空航天大學(xué)電子信息類學(xué)術(shù)博士研究生的通用教材,也可作為電子信息類學(xué)術(shù)碩士和工程碩士的教材
矩陣理論是一門理論上高度抽象、又極具應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。 它不僅是數(shù)學(xué)的一個重要分支,而且已成為現(xiàn)代各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,如自 動化與人工智能、計算機科學(xué)、力學(xué)與機械工程、管理科學(xué)與工程等處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)工具。因此,學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論和方法,對工科研究生是必不可少的。
本書的主要內(nèi)容作為北京航空航天大學(xué)工科研究生的基礎(chǔ)理論核心課程“矩陣理論”已講授多年。該課程在講授過程中,無論授課對象如何, 課程設(shè)置和講授內(nèi)容基本保持不變,因此具有極強的“魯棒性”。編者于2017年起獨立承擔(dān)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院的“矩陣理論”課程的教學(xué),經(jīng)過六輪次的課程探索與實踐,對課程內(nèi)容作了精心安排,并加入了諸多面向信息類專業(yè)的應(yīng)用案例,深受廣大學(xué)生喜愛。在編寫本書的過程中,編者力求使其內(nèi)容既具有一定的理論體系和理論深度,又注重深入淺出、簡潔易懂,對大量較為抽象的概念賦予簡明的幾何意義或具體實例,幫助學(xué)生理解并掌握矩陣相關(guān)的基本概念、理論和方法,實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與思維、應(yīng)用與創(chuàng)新能力的目的。
本書共分5章,比較全面、系統(tǒng)地介紹了矩陣的基本理論、方法和典應(yīng)用。第1章線性代數(shù)引論是本書的基礎(chǔ)理論,主要介紹線性空間與內(nèi)積空間。第2章線性映射與矩陣是本書的理論核心,闡釋了矩陣是有限維線性空間的線性變換的一種表達形式,并賦予矩陣以幾何直觀,使得在線性代數(shù)課程中難以理解的諸多疑問,如相似矩陣具有相同的特征值、矩陣乘法往往不可以交換等豁然開朗。第3章矩陣分解是應(yīng)用最廣的矩陣理論和方法,主要介紹廣泛應(yīng)用的滿秩分解、三角分解、QR 分解、Schur 分解、譜分解和奇異值分解;此外,還介紹了相抵分解、對角化分解和Jor- dan分解問題,這些內(nèi)容是矩陣理論研究、矩陣計算及應(yīng)用不少的工具和方法。第4章矩陣分析是矩陣理論對數(shù)學(xué)分析課程的推廣,介紹了范數(shù)理論、矩陣級數(shù)理論、矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣,這些內(nèi)容已廣泛應(yīng)用于諸多理論分析和工程問題。第5章廣義逆矩陣是矩陣理論中比較現(xiàn)代的部分,主要介紹常見的4種廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用,并分析了正交投影矩陣與廣義逆矩陣之間的聯(lián)系。特別地,每章都單獨用一節(jié)來展開矩陣理論研究與應(yīng)用。比如,第1章陣論了多項式插值與多項式空間的基之間的關(guān)系;第2章研究了圖的矩表示問題;第3章將諸多應(yīng)用如線性方程組與線性常微分方程組求解、 矩陣特征值與逆矩陣的計算、正交投影與圖像壓縮等融入各種矩陣分解 中;第4章研究了主元分析法對數(shù)據(jù)降維的基本原理;第5章討論了廣義 逆矩陣在區(qū)間線性規(guī)劃中的應(yīng)用問題。這些內(nèi)容具有較強的針對性和應(yīng)用性,為進一步理解矩陣的基本理論與方法,開展研究和解決工程問題提 供了重要案例。
在本書編寫過程中,考慮到授課的實際情況,將諸如投影與最佳逼近、Hermite矩陣、矩陣的 Kronecker積、線性矩陣方程等問題以片段或應(yīng)用的形式分散在一些章節(jié)中,希望讀者在閱讀過程中注意總結(jié)。
編者特別感謝北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院楊小遠教授和王永革 副教授、自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院林巖教授和秦世引教授、蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院孫春友教授、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院李嬋穎研究員,他們給予編者很大的鼓勵和支持,并仔細審閱了全部書稿,提出了很 多寶貴意見和建議。 編者感謝北京化工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院張強副教授、北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院鐵林副教授和劉克新副教授,他們仔細審閱了全部書稿,并提出了很多有益的建議。感謝王宏偉、張書源、高燕姍、秦鴻宇、丁祥濤、梁錦威、田摯昆、段安娜等研究生協(xié)助編輯和校對書稿。
由于編者水平有限,書中難免存在謬誤與不當之處,敬請批評、指正。 來信請寄:北京市海淀區(qū)學(xué)院路37號 北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院王磊。郵編:100191;電子郵箱:lwang@buaa.edu.cn。
編 者
2020年6月
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