目錄
叢書序
前言
引言
0.1 Riemann積分理論的局限性 2
0.1.1 可積函數(shù)對連續(xù)性的要求 2
0.1.2 積分與極限運算順序的交換 2
0.1.3 可積函數(shù)空間的完備性 3
0.2 Lebesgue積分思想的大體描述 3
0.3 實變函數(shù)論的主要內容 5
第1章 集合與Rn中的點集
1.1 集合與集合的運算 8
1.1.1 集合的基本概念 8
1.1.2 集合的運算 8
1.1.3 集列的極限 12
1.2 映射 可列集與基數(shù) 13
1.2.1 映射 13
1.2.2 可列集 15
1.2.3 基數(shù) 20
1.3 集類 26
1.3.1 代數(shù)與σ-代數(shù) 26
1.3.2* 單調類定理 29
1.4 Rn中的點集 30
1.4.1 Rn上的距離 31
1.4.2 開集與閉集 32
1.4.3 連續(xù)函數(shù) 36
1.4.4 開集的構造 37
1.4.5 Borel集 39
1.4.6 Cantor集 40
習題1 42
第2章 Lebesgue測度
2.1 外測度 48
2.2 可測集與測度 53
2.2.1 可測集的定義 53
2.2.2 可測集與測度的性質 55
2.2.3 測度計算的例 60
2.3 可測集與測度(續(xù)) 61
2.3.1 可測集的逼近性質 61
2.3.2* Lebesgue-Stieltjes測度 64
2.3.3* 不可測集的例 66
2.4* 測度空間 68
2.4.1 環(huán)上的測度 68
2.4.2 外測度與測度的延拓 70
習題2 75
第3章 可測函數(shù)
3.1 可測函數(shù)的性質 80
3.1.1 可測函數(shù)的定義與例 80
3.1.2 可測函數(shù)的運算封閉性 82
3.1.3 可測函數(shù)用簡單函數(shù)逼近 84
3.2 可測函數(shù)列的收斂 88
3.2.1 幾乎處處成立的性質 88
3.2.2 可測函數(shù)列的幾種收斂 89
3.2.3 幾種收斂的相互關系 90
3.3 可測函數(shù)用連續(xù)函數(shù)逼近 93
3.4* 測度空間上的可測函數(shù) 98
習題3 101
第4章 Lebesgue積分
4.1 積分的定義 106
4.1.1 非負簡單函數(shù)的積分 106
4.1.2 非負可測函數(shù)的積分 107
4.1.3 一般可測函數(shù)的積分 109
4.1.4 可積性 110
4.2 積分的性質 112
4.2.1 積分的初等性質 112
4.2.2 復值可測函數(shù)的積分 116
4.3 積分的極限定理 117
4.4 Lebesgue積分與Riemann積分的關系 121
4.4.1 兩種積分的關系 121
4.4.2 幾個例子 124
4.5 可積函數(shù)的逼近性質 125
4.6 重積分與累次積分 Fubini定理 128
4.6.1 Fubini定理 128
4.6.2* 積分的幾何意義 135
4.7* 測度空間 137
4.7.1 測度空間上的積分 137
4.7.2 乘積測度空間與Fubini定理 139
習題4 144
第5章 微分與不定積分
5.1 單調函數(shù)的可微性 150
5.2 有界變差函數(shù) 155
5.3 絕對連續(xù)函數(shù)與不定積分 159
5.3.1 絕對連續(xù)函數(shù)與Newton-Leibniz公式 160
5.3.2* 積分的變量代換 164
習題5 167
第6章 Lp空間
6.1 Lp空間的定義 172
6.2 Lp空間的性質 175
6.3 L2空間 180
6.3.1 L2空間中的正交性 180
6.3.2 規(guī)范正交系 182
習題6 187
部分習題的提示與解答要點
參考文獻
附錄 等價關系 半序集與Zorn引理